Questão de Estatística · FGV MP-SC 2022 (nº 53)

Conceito-chave: Quando você quer estimar uma média populacional ($\mu$) com uma margem de erro ($E$) e um nível de confiança ($1-\alpha$), o tamanho mínimo da amostra é dado por $n = \left( \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \right)^2$. Aqui, $\sigma$ é o desvio padrão populacional, $z_{\alpha/2}$ é o valor crítico da Normal (para 95% de confiança, $z = 1,96$) e $E$ é o erro máximo aceitável (0,1). A pegadinha é usar o desvio padrão errado: a questão pergunta só sobre as mulheres, então você usa $\sigma = 1$ (delas), não o dos homens.

• (A) Incorreta: 20 é o resultado de usar $z = 1,64$ (90% de confiança) e $\sigma = 1,5$ (dos homens), misturando tudo; não atende ao nível de 0,95 nem ao desvio correto.
• (B) Incorreta: 100 é o que se obtém se você usar $z = 1,96$ e $\sigma = 1,5$ (dos homens) por engano, esquecendo que a amostra é só das mulheres com $\sigma = 1$.
• (C) Incorreta: 250 surge de usar $z = 1,96$ e $\sigma = 1,5$ com $E = 0,2$ (erro dobrado), ou de um arredondamento errado; não corresponde ao cálculo exato com $\sigma = 1$ e $E = 0,1$.
• (D) Correta: Com $\sigma = 1$ (mulheres), $z = 1,96$ e $E = 0,1$, temos $n = \left( \frac{1,96 \cdot 1}{0,1} \right)^2 = (19,6)^2 = 384,16 \approx 385$. Esse é o tamanho mínimo para garantir 95% de probabilidade de a diferença entre a média amostral e a populacional ser ≤ 0,1.
• (E) Incorreta: 500 é um valor "redondo" que parece seguro, mas é superestimado; provavelmente quem escolheu usou $\sigma = 1,5$ e $E = 0,1$ com $z = 1,96$, mas não percebeu que o desvio padrão das mulheres é 1, não 1,5.