Questão de Estatística · FGV MP-SC 2022 (nº 50)

Conceito-chave: A variância de uma combinação linear de variáveis aleatórias não é só a soma das variâncias; ela também considera a covariância (o quanto elas variam juntas). A fórmula é $Var(aX + bY) = a^2Var(X) + b^2Var(Y) + 2ab \cdot Cov(X,Y)$.

• (A) Incorreta: 0 não é possível, pois a variância de uma variável não constante é sempre positiva; o erro viria de ignorar os coeficientes ao quadrado.
• (B) Incorreta: 4 seria o valor de $Var(Y)$ sozinha, ignorando completamente o termo $-2X$ e a covariância.
• (C) Incorreta: 6 é uma armadilha comum: o aluno calcula $Var(Y) + 4Var(X) = 4 + 4 = 8$ e depois subtrai $2\cdot Cov(X,Y) = -2$, chegando a $8 - 2 = 6$, mas esquece de multiplicar a covariância pelo produto dos coeficientes ($-2 e \1$), que dá$-4$, não$-2$.
• (D) Incorreta: 8 seria o resultado de $Var(Y) + 4Var(X) = 4 + 4 = 8$, ignorando completamente a covariância negativa.
• (E) Correta: Aplicando a fórmula: $Var(Y-2X) = Var(Y) + (-2)^2 Var(X) + 2 \cdot 1 \cdot (-2) \cdot Cov(X,Y) = 4 + 4 \cdot 1 + (-4) \cdot (-1) = 4 + 4 + 4 = 12$. O termo $2ab \cdot Cov$ com $a=1$ e $b=-2$ resulta em $2 \cdot 1 \cdot (-2) \cdot (-1) = +4$, que se soma aos 8 anteriores.