Questão de Estatística · FGV CGU 2021 - Tarde (nº 66)

Conceito-chave: O preço segue um Movimento Geométrico Browniano, ou seja, o logaritmo do preço ($\log p_t$) tem distribuição normal. Para calcular $P(p_t > 50)$, basta reescrever a desigualdade em termos de $Z$ (a normal padrão) e usar a função $\Phi$, que dá a probabilidade acumulada até um valor.

• (A) Incorreta: Usa $\log(1/2)$ (negativo) e subtrai $\mu$, mas a desigualdade $p_t > 50$ exige $\log(p_t/p_0) > \log(50/100) = -\log 2$. A conta correta isola $Z$ como $Z > \frac{-\log 2 - 0,1}{0,5}$, e depois troca o sinal para usar $\Phi$. Essa opção mantém o sinal errado e ainda usa $\log(1/2)$ sem transformar em $\log 2$ positivo.
• (B) Correta: $P(p_t > 50) = P\left(Z > \frac{\log(50/100) - 0,1}{0,5}\right) = P\left(Z > \frac{-\log 2 - 0,1}{0,5}\right)$. Como a normal é simétrica, $P(Z > a) = P(Z < -a) = \Phi(-a)$. Assim, $-a = \frac{\log 2 + 0,1}{0,5} = 2\log 2 + 0,2$. Logo, a probabilidade é $\Phi(2\log 2 + 0,2)$.
• (C) Incorreta: Troca o sinal de $\log 2$ e de $\mu$ simultaneamente, o que daria $\Phi(-2\log 2 - 0,2)$. Isso corresponderia a $P(Z < -2\log 2 - 0,2)$, que é o complemento da resposta correta (pois $\Phi(-x) = 1 - \Phi(x)$). É a pegadinha clássica: esquecer que $P(Z > a) = 1 - \Phi(a)$ e usar $\Phi$ direto sem inverter o sinal.
• (D) Incorreta: Usa $\log(2)$ positivo no numerador, mas o correto é $\log(50/100) = -\log 2$. Isso daria $P(Z > \frac{\log 2 - 0,1}{0,5})$, que não corresponde à condição $p_t > 50$.
• (E) Incorreta: Usa $\log(1/2)$ (negativo) e soma $\mu$, mas o correto é subtrair $\mu$ ao isolar $Z$. Além disso, mantém o sinal negativo no numerador, o que levaria a $\Phi$ de um valor negativo, quando o gabarito exige $\Phi$ de valor positivo.

Armadilha do distrator mais tentador (C): A banca inverte os dois sinais (de $\log 2$ e de $\mu$) para testar se você lembra que $P(Z > a) = 1 - \Phi(a)$. Quem apenas “joga” na fórmula e esquece de trocar o sinal ao usar $\Phi$ cai na letra C, que é o complemento da resposta certa.