Questão de Estatística · FGV CGU 2021 - Tarde (nº 67)

O conceito-chave é que o modelo $p_i = p_{i-1}\exp(\mu + \varepsilon_i)$ é um passeio aleatório com drift no logaritmo: $\log p_i - \log p_{i-1} = \mu + \varepsilon_i$. Como $\varepsilon_i \sim N(0,1)$, a diferença total $\log p_n - \log p_0 = n\mu + \sum_{i=1}^n \varepsilon_i$ tem distribuição $N(n\mu, n)$. Para testar $H_0: \mu=0$, usamos o Teste Z (variância conhecida), padronizando a estatística: $\frac{\log p_n - \log p_0}{\sqrt{n}} \sim N(0,1)$ sob $H_0$.

• (A) Incorreta: $\bar{p}$ é a média dos preços em nível, não dos retornos logarítmicos; não tem relação direta com $\mu$ e não segue distribuição conhecida sob $H_0$.
• (B) Incorreta: $\sqrt{n}\,\bar{p}$ mistura nível com raiz de $n$; não é estatística de teste para $\mu$ (que está nos retornos), e a variância de $\bar{p}$ não é 1.
• (C) Correta: É o Teste Z correto: sob $H_0$, $\log p_n - \log p_0 = \sum \varepsilon_i \sim N(0,n)$, logo $\frac{\log p_n - \log p_0}{\sqrt{n}} \sim N(0,1)$.
• (D) Incorreta: Teste T seria usado se a variância fosse desconhecida e estimada; aqui a variância é conhecida (1), então é Z, e a estatística correta não tem $\sqrt{n}$ multiplicando a diferença (já está dividindo).
• (E) Incorreta: $p_n - p_0$ é diferença em nível, não log-retorno; sua distribuição não é normal nem padronizável para testar $\mu$ diretamente.

Armadilha do distrator mais tentador (B): a banca coloca $\sqrt{n}\,\bar{p}$ para confundir com a estatística usual de teste Z para média amostral ($\bar{x}$), mas aqui a média amostral é dos preços, não dos retornos logarítmicos. O parâmetro $\mu$ está no expoente, então só faz sentido testá-lo via log-diferença, nunca via $\bar{p}$.