Questão de Estatística · FCC TRT17 2022 (nº 59)

O método da transformação inversa é uma técnica para gerar números aleatórios de uma distribuição específica. Ele funciona encontrando a função de distribuição acumulada (CDF) da distribuição desejada, invertendo-a e aplicando essa função inversa a um número aleatório gerado a partir de uma distribuição uniforme entre 0 e 1.

Para a distribuição Beta(1,β) com $f(x) = \beta(1-x)^{\beta-1}$:

1. Encontrar a CDF, F(x):
   $F(x) = \int_0^x \beta(1-t)^{\beta-1} dt = 1 - (1-x)^\beta$.
2. Igualar F(x) a U (variável uniforme) e resolver para x:
   $U = 1 - (1-x)^\beta$
   $(1-x)^\beta = 1 - U$
   $1-x = (1-U)^{1/\beta}$
   $x = 1 - (1-U)^{1/\beta}$
   Como $U$ é uma variável aleatória uniforme em (0,1), a variável $1-U$ também é uniformemente distribuída em (0,1). Portanto, podemos substituir $(1-U)$ por $U$ na expressão final.

(A) Incorreta: $U^\beta$. A armadilha da banca aqui é tentar confundir com a forma da inversa de $x^{1/\beta}$ ou com a distribuição Beta($\alpha$,1) (que geraria $U^{1/\alpha}$), que tem uma estrutura de PDF diferente.
(B) Incorreta: $U^\beta + 1$. O valor de X deve estar no intervalo $[0,1]$, mas esta expressão resultaria em valores maiores que 1.
(C) Incorreta: $1 + U^{1/\beta}$. Similarmente à alternativa B, esta expressão produziria valores de X maiores que 1, fora do domínio da distribuição Beta.
(D) Correta: $1 - U^{1/\beta}$. Esta é a expressão correta obtida ao aplicar o método da transformação inversa à CDF da distribuição Beta(1,β), $F(x) = 1 - (1-x)^\beta$. Após igualar $U = F(x)$ e isolar $x$, chegamos a $x = 1 - (1-U)^{1/\beta}$. Como $U$ e $1-U$ são ambos uniformemente distribuídos em (0,1), podemos substituir $(1-U)$ por $U$, resultando em $X = 1 - U^{1/\beta}$.
(E) Incorreta: $1/(1 + U^\beta)$. Embora esta expressão gere valores dentro do domínio $[0,1]$, ela não é derivada da CDF da distribuição Beta(1,β).