Questão de Estatística · FCC TRT17 2022 (nº 55)

O Método de Aceitação/Rejeição é uma técnica para gerar números aleatórios de uma distribuição alvo complexa ($f_X(x)$) usando uma distribuição proposta mais simples ($g_Y(y)$). Um valor candidato $Y$ é gerado da distribuição proposta e aceito como uma observação de $X$ se um número uniforme $U$ for menor ou igual a uma razão específica envolvendo as densidades e uma constante $M$.

Para a distribuição dada $f_X(x) = 3x^2$ para $0 < x < 1$, e a distribuição proposta$Y \sim U(0,1)$(onde$g_Y(y) = 1$), precisamos encontrar a constante$M$tal que$f_X(x) \le M \cdot g_Y(y)$para todo$x$. O valor máximo de$f_X(x) = 3x^2$no intervalo$(0,1)$é$3(1)^2 = 3$. Assim, escolhemos$M=3$. A condição de aceitação é$U \le \frac{f_X(Y)}{M \cdot g_Y(Y)}$. Substituindo os valores, temos$U \le \frac{3Y^2}{3 \cdot 1}$, que simplifica para$U \le Y^2$.

Vamos aplicar essa condição aos pares $(Y, U)$ fornecidos:

1. Par (0.1, 0.9): $Y=0.1$, $U=0.9$. $Y^2 = (0.1)^2 = 0.01$. Como $0.9 \not\le 0.01$, o valor $Y=0.1$ é rejeitado.
2. Par (0.3, 0.8): $Y=0.3$, $U=0.8$. $Y^2 = (0.3)^2 = 0.09$. Como $0.8 \not\le 0.09$, o valor $Y=0.3$ é rejeitado.
3. Par (0.7, 0.4): $Y=0.7$, $U=0.4$. $Y^2 = (0.7)^2 = 0.49$. Como $0.4 \le 0.49$, o valor $Y=0.7$ é aceito.
4. Par (0.9, 0.6): $Y=0.9$, $U=0.6$. $Y^2 = (0.9)^2 = 0.81$. Como $0.6 \le 0.81$, o valor $Y=0.9$ é aceito.
5. Par (0.4, 0.3): $Y=0.4$, $U=0.3$. $Y^2 = (0.4)^2 = 0.16$. Como $0.3 \not\le 0.16$, o valor $Y=0.4$ é rejeitado.

Os dois valores aceitos como observações de X são 0.7 e 0.9.

(A) Incorreta: 0,9 e 0,6. Armadilha da banca: Esta alternativa apresenta um valor $Y$ aceito (0,9) e seu respectivo valor $U$ (0,6), mas a questão pede duas observações de X, que são os valores de $Y$ que passaram no teste.
(B) Incorreta: 0,1 e 0,3. Ambos os valores de $Y$ foram rejeitados.
(C) Incorreta: 0,8 e 0,9. O valor 0,8 é um $U$ e não um valor de $Y$ aceito.
(D) Incorreta: 0,3 e 0,4. Ambos os valores de $Y$ foram rejeitados.
(E) Correta: Os valores 0,7 e 0,9 são os únicos valores de $Y$ que satisfizeram a condição de aceitação $U \le Y^2$.