Questão de Estatística · FGV TJ-MS 2024 (nº 45)

Um intervalo de confiança para a população é uma faixa de valores onde esperamos encontrar uma certa porcentagem dos indivíduos dessa população, com base na sua média e desvio padrão, assumindo uma distribuição normal.

• Média ($\mu$): 1,70 m
• Desvio Padrão ($\sigma$): 0,1 m
• Porcentagem da população: 95%

Para encontrar o intervalo que contém 95% da população em uma distribuição normal, precisamos encontrar o valor $Z$ (escore Z) tal que $P(-Z < X < Z) = 0.95$. Isso significa que 2,5% da população está em cada cauda da distribuição. Portanto, precisamos encontrar o $Z$ tal que a probabilidade acumulada até ele seja $0.95 + 0.025 = 0.975$.

Consultando a tabela de $F_x$ (função acumulada da distribuição normal padrão) fornecida:

• $F_{1,5} = 0,933$
• $F_{2,0} = 0,977$
• $F_{2,5} = 0,994$

O valor $F_{2,0} = 0,977$ é o mais próximo de 0,975. Portanto, usaremos $Z = 2,0$.
Com $Z = 2,0$, a porcentagem da população contida no intervalo é $P(-2,0 < X < 2,0) = F_{2,0} - (1 - F_{2,0}) = 2 \times F_{2,0} - 1 = 2 \times 0,977 - 1 = 1,954 - 1 = 0,954$, ou seja, 95,4%, que é "aproximadamente 95%".

Agora, calculamos o intervalo:
Limite Inferior = $\mu - Z \times \sigma = 1,70 - 2,0 \times 0,1 = 1,70 - 0,2 = 1,50$ m
Limite Superior = $\mu + Z \times \sigma = 1,70 + 2,0 \times 0,1 = 1,70 + 0,2 = 1,90$ m

O intervalo é $[1,50m; 1,90m]$.

(A) Incorreta: Este intervalo corresponde a $Z = 0,5$ (pois $1,70 \pm 0,05$). Com $Z=0,5$, a porcentagem da população é $2 \times F_{0,5} - 1 = 2 \times 0,691 - 1 = 0,382$ (38,2%), que é muito menor que 95%.
(B) Incorreta: Este intervalo corresponde a $Z = 1,0$ (pois $1,70 \pm 0,10$). Com $Z=1,0$, a porcentagem da população é $2 \times F_{1,0} - 1 = 2 \times 0,841 - 1 = 0,682$ (68,2%). Esta é uma pegadinha comum, pois 68% da população está dentro de um desvio padrão da média, mas o problema pede 95%.
(C) Incorreta: Este intervalo corresponde a $Z = 1,5$ (pois $1,70 \pm 0,15$). Com $Z=1,5$, a porcentagem da população é $2 \times F_{1,5} - 1 = 2 \times 0,933 - 1 = 0,866$ (86,6%), que não é 95%.
(D) Correta: Este intervalo foi calculado usando $Z = 2,0$, que, de acordo com a tabela fornecida ($F_{2,0} = 0,977$), abrange 95,4% da população, sendo a melhor aproximação para 95% entre as opções.
(E) Incorreta: Este intervalo corresponde a $Z = 2,5$ (pois $1,70 \pm 0,25$). Com $Z=2,5$, a porcentagem da população é $2 \times F_{2,5} - 1 = 2 \times 0,994 - 1 = 0,988$ (98,8%), que é maior que 95%.