Questão de Estatística · FGV TJ-MS 2024 (nº 39)

O Teorema Central do Limite (TCL) afirma que, para um tamanho de amostra grande o suficiente, a distribuição das médias amostrais (ou somas) será aproximadamente normal, independentemente da forma da distribuição original da população. Isso significa que, mesmo que os dados individuais não sigam uma distribuição normal, a média de muitas dessas observações tenderá a se distribuir normalmente.

• (A) Incorreta: O desvio padrão da média amostral (erro padrão) é igual ao desvio padrão da população dividido pela raiz quadrada do tamanho da amostra ($\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$), e não pelo tamanho da amostra $n$ diretamente. Neste caso, seria dividido por $\sqrt{100} = 10$, e não por 100.
• (B) Incorreta: A probabilidade de ocorrer 100 caras ou 100 coroas é extremamente pequena ($0.5^{100}$ para cada caso), mas não é zero. Portanto, há chances, por menores que sejam.
• (C) Incorreta: O Teorema Central do Limite justamente nos diz que, para amostras grandes (como 100 lançamentos), a distribuição da média amostral se aproxima de uma distribuição normal mesmo que a distribuição original não seja normal. A afirmação "se, e somente se" é falsa, pois o TCL atua para tornar a distribuição normal mesmo partindo de distribuições não normais (como a distribuição de Bernoulli para um único lançamento de moeda).
• (D) Correta: Para moedas não viciadas, a probabilidade de cara (ou coroa) é 0.5. Com 100 lançamentos, o número esperado de caras é $100 \times 0.5 = 50$. A frase "em torno de" reconhece que, embora 50 seja o resultado mais provável e o centro da distribuição, a variação aleatória significa que o resultado exato pode ser um pouco maior ou menor, mas tenderá a se agrupar próximo a 50.
• (E) Incorreta: (Armadilha da banca) Esta alternativa é uma "pegadinha" por afirmar com certeza absoluta. Embora 50 caras seja o número esperado e o resultado mais provável, não há garantia de que serão observadas exatamente 50 caras e 50 coroas em 100 lançamentos. A probabilidade de obter exatamente 50 caras é de aproximadamente 8%, o que significa que na maioria das vezes o resultado não será exatamente 50. A diferença crucial para a alternativa D é o termo "em torno de", que permite a variação aleatória.