Questão de Estatística · FGV TJ-MS 2024 (nº 38)

A esperança (ou média) de uma variável aleatória é o seu valor médio esperado. A variância mede o quão dispersos os valores da variável estão em relação à sua esperança. Para uma variável transformada $Y = aX + b$, a esperança $E[Y]$ é $aE[X] + b$, e a variância $Var[Y]$ é $a^2Var[X]$. A relação fundamental entre esperança e variância é $Var[Y] = E[Y^2] - (E[Y])^2$, o que nos permite encontrar $E[Y^2]$ se conhecemos a variância e a esperança.

Primeiro, calculamos $E[Y]$:
$E[Y] = E[5X - 100] = 5E[X] - 100 = 5(10) - 100 = 50 - 100 = -50$.

Em seguida, calculamos $Var[Y]$:
$Var[Y] = Var[5X - 100] = 5^2 Var[X] = 25 \times 4 = 100$.

Finalmente, usamos a relação $E[Y^2] = Var[Y] + (E[Y])^2$:
$E[Y^2] = 100 + (-50)^2 = 100 + 2500 = 2600$.

(A) Incorreta: Este valor não corresponde a $E[Y^2]$ com os dados fornecidos.
(B) Incorreta: Este valor é $Var[Y] = 100$. É um distrator que pode ser confundido com $E[Y^2]$.
(C) Incorreta: Este valor não corresponde a $E[Y^2]$ com os dados fornecidos.
(D) Incorreta: Este valor é $(E[Y])^2 = (-50)^2 = 2500$. A armadilha da banca aqui é levar o aluno a calcular corretamente a esperança de Y ($E[Y]$), mas depois esquecer que $E[Y^2]$ não é simplesmente $(E[Y])^2$. A relação correta é $E[Y^2] = Var[Y] + (E[Y])^2$. Confundir $E[Y^2]$ com $(E[Y])^2$ é um erro comum que a banca explora.
(E) Correta: O valor $2600$é obtido corretamente pela fórmula$E[Y^2] = Var[Y] + (E[Y])^2$, onde$Var[Y] = 100$e$E[Y] = -50$.