Questão de Estatística · FGV TJ-MS 2024 (nº 31)

Uma função densidade de probabilidade (FDP) para uma variável aleatória contínua é uma função que descreve a probabilidade relativa de que a variável assuma um determinado valor, e a área total sob sua curva deve ser igual a 1.

(A) Incorreta: Se $k=1$, a integral de $f(x)$ de -1 a 1 seria $\int_{-1}^{1} 1 dx = [x]_{-1}^{1} = 1 - (-1) = 2$, o que não é igual a 1.
(B) Correta: Para que $f(x)$ seja uma função densidade de probabilidade válida, a integral de $f(x)$ sobre todo o seu domínio deve ser igual a 1. Assim, $\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1$. Como $f(x)=k$ para $-1 \le x \le 1$ e $f(x)=0$ fora desse intervalo, temos $\int_{-1}^{1} k dx = 1$. Resolvendo a integral: $[kx]_{-1}^{1} = 1 \implies k(1) - k(-1) = 1 \implies k + k = 1 \implies 2k = 1 \implies k = 1/2$.
(C) Incorreta: Se $k=1/3$, a integral de $f(x)$ de -1 a 1 seria $\int_{-1}^{1} (1/3) dx = (1/3)[x]_{-1}^{1} = (1/3)(1 - (-1)) = (1/3)(2) = 2/3$, o que não é igual a 1.
(D) Incorreta: Se $k=1/e$, a integral de $f(x)$ de -1 a 1 seria $\int_{-1}^{1} (1/e) dx = (1/e)[x]_{-1}^{1} = (1/e)(1 - (-1)) = 2/e$, o que não é igual a 1.
(E) Incorreta: Se $k=1/5$, a integral de $f(x)$ de -1 a 1 seria $\int_{-1}^{1} (1/5) dx = (1/5)[x]_{-1}^{1} = (1/5)(1 - (-1)) = (1/5)(2) = 2/5$, o que não é igual a 1.