Questão de Estatística · FGV TCE-TO 2022 (nº 37)

O estimador de mínimos quadrados é o valor de (b) que minimiza a soma dos quadrados dos erros (e^T e). Para um modelo (Y = Xb + e), a solução de primeira ordem (derivando (e^T e) em relação a (b) e igualando a zero) leva às equações normais (X^T X b = X^T Y). Isolando (b), obtemos a fórmula clássica: (\hat{b} = (X^T X)^{-1} X^T Y). A ordem importa: primeiro multiplicamos (X^T) por (Y), e depois pré-multiplicamos pelo inverso de (X^T X).

• (A) Incorreta: Usa ((XX^T)^{-1}), que só seria válido se (X) fosse (k \times n) (o que não é o caso aqui, pois (X) é (n \times (k+1))). Além disso, a ordem de multiplicação está errada.
• (B) Incorreta: Faltou a transposta em (X) no segundo fator: seria ((X^T X)^{-1} X^T Y), e não ((X^T X)^{-1} X Y). A pegadinha aqui é que (X^T X) é quadrada, mas (X Y) não tem dimensões compatíveis (a menos que (n = k+1), o que não é geral).
• (C) Incorreta: A ordem está invertida: (X^T Y (X^T X)^{-1}) não é igual a ((X^T X)^{-1} X^T Y), pois multiplicação de matrizes não é comutativa. A armadilha é tentar "mover" o inverso para o lado direito, o que é inválido.
• (D) Incorreta: Aqui temos (X^T X (X^T Y)^{-1}), que inverte a matriz errada (inverte (X^T Y), que nem é quadrada em geral) e coloca (X^T X) multiplicando à esquerda, sem sentido algébrico.
• (E) Correta: Esta é a forma exata derivada das equações normais: (\hat{b} = (X^T X)^{-1} X^T Y). O termo ((X^T X)^{-1}) é a inversa da matriz de momentos cruzados (que é quadrada e simétrica), e (X^T Y) é o vetor de correlações cruzadas. A ordem é fixa: primeiro (X^T Y), depois pré-multiplica pela inversa.