Questão de Estatística · FGV TCE-TO 2022 (nº 36)

O estimador de máxima verossimilhança (EMV) é o valor do parâmetro que torna a amostra observada a mais provável possível. Para uma Bernoulli, a função de verossimilhança é $p^{\sum X_i}(1-p)^{n-\sum X_i}$, e maximizá-la (via logaritmo e derivada) leva à proporção de sucessos na amostra.

• (A) Incorreta: Divide a soma por $2n$, o que subestima $p$ pela metade; não é o resultado da maximização da verossimilhança.
• (B) Correta: O EMV de $p$ é a média amostral $\bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i$, pois a derivada do log da verossimilhança igualada a zero dá $\hat{p} = \frac{\sum X_i}{n}$.
• (C) Incorreta: É a soma total de sucessos, não a proporção; depende do tamanho da amostra e não é um estimador de $p$ (que está entre 0 e 1).
• (D) Incorreta: Para Bernoulli, $X_i^2 = X_i$, então $\frac{1}{n}\sum X_i^2 = \frac{1}{n}\sum X_i$, que coincide numericamente com a correta, mas a forma com quadrado é desnecessária e pode confundir; a banca considera incorreta por não ser a expressão padrão do EMV.
• (E) Incorreta: Soma dos quadrados sem dividir por $n$; novamente, para Bernoulli é igual à soma de $X_i$, mas sem normalização não estima $p$.

Armadilha do distrator mais tentador (D): Como $X_i \in \{0,1\}$, $X_i^2 = X_i$, então a letra D dá o mesmo valor numérico que a B. A banca coloca essa "pegadinha" para testar se você sabe a definição formal do EMV (média amostral), não apenas um truque algébrico. A letra B é a expressão canônica e correta.