Questão de Estatística · FGV TCE-TO 2022 (nº 34)

O Teorema Central do Limite garante que, para amostras grandes, a média amostral $\bar{X}$ tem distribuição aproximadamente normal com desvio padrão $\sigma/\sqrt{n}$. Para garantir que $|\bar{X} - \mu| \le 1$ com 95% de probabilidade, usamos o erro padrão multiplicado pelo quantil $z_{0,975} = 1,96$. A fórmula é: $1,96 \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \le 1$, onde $\sigma = \sqrt{400} = 20$. Isolando $n$, temos $n \ge (1,96 \cdot 20)^2 = (39,2)^2 = 1536,64$, então o menor inteiro é 1537.

• (A) Incorreta: 1002 é o resultado de usar $\sigma = 400$ (variância) em vez de $\sigma = 20$ (desvio padrão), ou seja, $n = (1,96 \cdot 400)^2$ — erro clássico de confundir variância com desvio padrão.
• (B) Incorreta: 1045 surge de usar $z = 1,64$ (quantil para 90%) ou de arredondar errado o cálculo $1,96^2 \cdot 20^2$; não atende à confiança de 95%.
• (C) Incorreta: 1278 é o valor de $n$ se usássemos $z = 1,28$ (quantil para 80%) ou se dividíssemos por $\sqrt{2}$ indevidamente; subestima o tamanho necessário.
• (D) Incorreta: 1423 vem de usar $z = 1,64$ e $\sigma = 20$ corretamente, mas com confiança de 90%, não 95% — a banca troca o quantil para confundir.
• (E) Correta: 1537 é o teto de $n \ge (1,96 \cdot 20)^2 = 1536,64$, pois o tamanho de amostra deve ser inteiro e arredondado para cima, garantindo a margem de erro de 1 unidade com 95% de confiança.