FGV2023Professor II - MatemáticaMatemática

Questão de Matemática — FGV SME Jaboatão 2023 (nº 54)

Sejam $A(2,4)$ e $B(4, k)$ pontos do plano cartesiano. O segmento $\overline{AB}$ faz um ângulo de $75°$ com o sentido positivo do eixo das abscissas.

O comprimento da projeção ortogonal de $\overline{AB}$ sobre a reta $y = x$ , em unidades de comprimento é

Dado: $\operatorname{tg}(75°) = 2 + \sqrt{3}$

A $2\sqrt{2 + \sqrt{3}}$ .
B $2\sqrt{2 + 3\sqrt{3}}$ .
C $2\sqrt{3 + 3\sqrt{3}}$ .
D $2\sqrt{6 - 3\sqrt{3}}$ .
E $2\sqrt{6 + 3\sqrt{3}}$ .

Resposta comentada

Gabarito Alternativa E

(A) Incorreta: ao quadrado dá $8 + 4\sqrt{3}$ , diferente de $24 + 12\sqrt{3}$ .
(B) Incorreta: ao quadrado dá $8 + 12\sqrt{3}$ , não confere.
(C) Incorreta: ao quadrado dá $12 + 12\sqrt{3}$ , não confere.
(D) Incorreta: ao quadrado dá $24 - 12\sqrt{3}$ , sinal trocado.
(E) Correta: como $\Delta x = 2$ , $|AB| = \frac{2}{\cos 75°}$ ; o ângulo entre $\overline{AB}$ e $y=x$ é $30°$ , então a projeção $= |AB|\cos 30° = 3\sqrt{2} + \sqrt{6}$ , cujo quadrado é $24 + 12\sqrt{3} = \left(2\sqrt{6 + 3\sqrt{3}}\right)^2$ .

Fonte: FGV SME Jaboatão 2023 Professor II - Matemática (Caderno Tipo 1). Reproduzida para fins de estudo.

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