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Questão de Matemática — FGV SECAD-TO Edital 01 2023 (nº 60)

Seja $P$ um poliedro convexo com faces exclusivamente triangulares, quadriláteras, pentagonais e hexagonais. As quantidades de faces de cada um dos quatro tipos são as mesmas. O número de vértices de $P$ está entre 8 e 15.
É correto afirmar que $P$ tem

A10 vértices.
B10 faces.
C12 faces.
D12 arestas.
E18 arestas.

Resposta comentada

Gabarito Alternativa E

seja $n$ o número de faces de cada tipo; então $F = 4n$ e a soma de arestas por face é $n(3+4+5+6) = 18n$ , cada uma contada duas vezes, logo $E = 9n$ . Por Euler, $V = 2 + E - F = 2 + 5n$ . Com $8 < V < 15$ , o único valor é $n=2$ : $V = 12$ , $E = 18$ , $F = 8$ .

(A) Incorreta: $P$ tem $12$ vértices, não $10$ .
(B) Incorreta: $P$ tem $8$ faces, não $10$ .
(C) Incorreta: $P$ tem $8$ faces, não $12$ .
(D) Incorreta: $P$ tem $18$ arestas, não $12$ .
(E) Correta: $P$ tem $18$ arestas.

Fonte: FGV SECAD-TO Edital 01 2023 Matemática (Caderno Tipo 1). Reproduzida para fins de estudo.

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