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Questão de Matemática — FGV SECAD-TO Edital 01 2023 (nº 36)

Se todos os 9 termos provenientes do desenvolvimento de $\left(\dfrac{x^2}{y} + \dfrac{y^2}{x}\right)^8$ forem escritos na forma $T_i = a_i \cdot x^m \cdot y^n$ com expoentes de $x$ decrescendo, em que $m$ e $n$ são, respectivamente, os expoentes inteiros de $x$ e $y$ , $i \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ é o indicador da posição de cada termo no desenvolvimento e $a_i$ é o respectivo coeficiente, é correto afirmar que $m$ e $n$ serão simultaneamente positivos apenas para $i$ igual a

A4, 5 e 6.
B5, 6 e 7.
C3, 4 e 5.
D3, 4, 5 e 6.
E4, 5, 6 e 7.

Resposta comentada

Gabarito Alternativa A

termo geral $T_{k+1} = \binom{8}{k}\left(\tfrac{x^2}{y}\right)^{8-k}\left(\tfrac{y^2}{x}\right)^{k} = \binom{8}{k}\,x^{16-3k}\,y^{3k-8}$ . Exige-se $m = 16-3k > 0 \Rightarrow k \le 5$ e $n = 3k-8 > 0 \Rightarrow k \ge 3$ ; logo $k \in \{3,4,5\}$ , ou seja, $i = k+1 \in \{4,5,6\}$ .

(A) Correta: $i \in \{4,5,6\}$ , correspondentes a $k \in \{3,4,5\}$ .
(B) Incorreta: $i=7$ ( $k=6$ ) dá $m = -2 < 0$ .
(C) Incorreta: $i=3$ ( $k=2$ ) dá $n = -2 < 0$ .
(D) Incorreta: inclui $i=3$ , que não satisfaz $n>0$ .
(E) Incorreta: inclui $i=7$ , que não satisfaz $m>0$ .

Fonte: FGV SECAD-TO Edital 01 2023 Matemática (Caderno Tipo 1). Reproduzida para fins de estudo.

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