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Questão de Matemática — FGV SECAD-TO Edital 01 2023 (nº 49)

Considere a circunferência $C$ no espaço $\mathbb{R}^2$ descrita pela equação $x^2 + y^2 - 6x - 6y + 9 = 0$ . A reta $r$ contém o ponto $A = (6 + \sqrt{7},\ 3 + \sqrt{7})$ , tem a direção do vetor $\vec{u} = (1,1)$ e intersecta a circunferência nos pontos $P$ e $Q$ .
Assinale a opção que indica a distância entre os pontos $P$ e $Q$ .

A $\sqrt{12}$ .
B $\sqrt{14}$ .
C $\sqrt{15}$ .
D $\sqrt{18}$ .
E $\sqrt{20}$ .

Resposta comentada

Gabarito Alternativa D

completando quadrados, $C: (x-3)^2 + (y-3)^2 = 9$ , centro $(3,3)$ e raio $3$ . A reta com direção $(1,1)$ por $A$ é $x - y - 3 = 0$ ; distância do centro à reta: $d = \dfrac{|3 - 3 - 3|}{\sqrt{2}} = \dfrac{3}{\sqrt2}$ . A corda vale $PQ = 2\sqrt{r^2 - d^2} = 2\sqrt{9 - 4{,}5} = 2\sqrt{4{,}5} = \sqrt{18}$ .

(A) Incorreta: $\sqrt{12}$ decorre de $d$ incorreta.
(B) Incorreta: $\sqrt{14}$ não corresponde a $r^2 - d^2 = 4{,}5$ .
(C) Incorreta: $\sqrt{15}$ não resulta do cálculo da corda.
(D) Correta: $PQ = \sqrt{18}$ .
(E) Incorreta: $\sqrt{20}$ superestima a corda.

Fonte: FGV SECAD-TO Edital 01 2023 Matemática (Caderno Tipo 1). Reproduzida para fins de estudo.

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