Questão de Raciocínio Lógico Matemático · FGV MPRJ 2025 (nº 40)

Para resolver este problema, precisamos primeiro calcular o número total de partidas disputadas no torneio. Em seguida, montamos um sistema de equações que relaciona o número de empates e vitórias/derrotas com o total de partidas e a soma total de pontos, prestando muita atenção a quantos pontos cada tipo de partida contribui para a soma total do torneio.

1. Cálculo do número total de partidas:
Com 10 times e cada um jogando uma única partida com cada um dos outros, usamos a fórmula de combinação $C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$, onde $n$ é o número de times e $k$ é o número de times por partida (2).
$C(10, 2) = \frac{10 \times 9}{2} = 45$ partidas.

2. Pontuação por tipo de partida para a soma total:

• Partida com vencedor e perdedor: O vencedor ganha 3 pontos, o perdedor 0. A soma total de pontos adicionados ao placar geral do torneio por essa partida é $3 + 0 = 3$ pontos.
• Partida empatada: Cada time ganha 1 ponto. A soma total de pontos adicionados ao placar geral do torneio por essa partida é $1 + 1 = 2$ pontos.

3. Montagem do sistema de equações:
Seja $E$ o número de partidas empatadas e $V$ o número de partidas com vencedor/perdedor.

• Equação 1 (Total de partidas): $E + V = 45$
• Equação 2 (Soma total de pontos): $2E + 3V = 122$

4. Resolução do sistema:
Da Equação 1, podemos expressar $V$ em termos de $E$: $V = 45 - E$.
Substituindo $V$ na Equação 2:
$2E + 3(45 - E) = 122 \2E + 135 - 3E = 122$$-E = 122 - 135$$-E = -13$$E = 13$

Portanto, o número de partidas que terminaram empatadas foi 13.

• (A) Incorreta: Este valor não corresponde ao resultado obtido pela resolução do sistema de equações baseado nas regras do torneio.
• (B) Incorreta: Este valor não corresponde ao resultado obtido pela resolução do sistema de equações.
• (C) Correta: O cálculo detalhado mostra que 13 partidas terminaram empatadas, satisfazendo as condições de total de jogos e soma total de pontos.
• (D) Incorreta: Este é um distrator comum que pode surgir de um pequeno erro de cálculo na etapa final da resolução da equação. Por exemplo, se a soma total de pontos fosse 121 em vez de 122, o resultado seria 14 empates ($2E + 3(45-E) = 121 \implies -E = 121 - 135 \implies -E = -14 \implies E = 14$). A banca explora a possibilidade de um erro aritmético simples.
• (E) Incorreta: Este valor não corresponde ao resultado obtido pela resolução do sistema de equações.