Questão de Raciocínio Lógico Matemático · FGV MPRJ 2025 (nº 39)

Para resolver problemas de permutação circular com restrições, é fundamental entender que a posição relativa dos elementos é o que importa. Quando há elementos idênticos (como cadeiras vazias), eles devem ser considerados na contagem e na fórmula.

Conceito-chave: A permutação circular de $n$ objetos distintos é $(n-1)!$. Se houver objetos idênticos, dividimos pelo fatorial do número de objetos idênticos. Para resolver problemas com restrições (como "não vizinhos"), geralmente calculamos o total de arranjos e subtraímos os arranjos que violam a restrição.

• Total de elementos: Temos 4 pessoas (Pai, Mãe, Filho1, Filho2) e 2 cadeiras vazias. As 6 cadeiras são iguais, o que implica que as 2 cadeiras vazias são indistinguíveis entre si. Assim, temos 6 "elementos" para arranjar em círculo: 4 distintos e 2 idênticos (as cadeiras vazias).
• Total de arranjos sem restrição: Usamos a fórmula de permutação circular com elementos repetidos: $\frac{(n-1)!}{k!}$, onde $n=6$ (total de elementos) e $k=2$ (cadeiras vazias idênticas).
  Total = $\frac{(6-1)!}{2!} = \frac{5!}{2} = \frac{120}{2} = 60$.
• Arranjos onde Pai e Mãe SÃO vizinhos:
  1. Trate o Pai e a Mãe como um único "bloco" (PM).
  2. Agora temos 5 "elementos" para arranjar em círculo: (PM), Filho1, Filho2, Vazia, Vazia.
  3. Aplicamos a fórmula novamente: $n=5$ (elementos) e $k=2$ (cadeiras vazias idênticas).
     Arranjos do bloco = $\frac{(5-1)!}{2!} = \frac{4!}{2} = \frac{24}{2} = 12$.
  4. Dentro do bloco (PM), o Pai e a Mãe podem trocar de lugar (PM ou MP). Isso são $2! = 2$ maneiras.
  5. Total de arranjos com Pai e Mãe vizinhos = $12 \times 2 = 24$.
• Arranjos onde Pai e Mãe NÃO são vizinhos:
  Subtraímos os arranjos onde eles são vizinhos do total de arranjos:
  $60 - 24 = 36$.

• (A) Incorreta: Esta alternativa (18) pode ser obtida por um cálculo parcial ou incorreto, por exemplo, fixando uma pessoa e contando as opções para a mãe não vizinha, mas depois errando na contagem das posições dos filhos e cadeiras vazias.
• (B) Incorreta: Esta alternativa (24) representa o número de maneiras em que o Pai e a Mãe estão sentados em cadeiras vizinhas, que é o oposto do que a questão pede. É um distrator para quem não leu a restrição "não devem se sentar em cadeiras vizinhas" ou a interpretou mal.
• (C) Incorreta: Esta alternativa (32) não corresponde a nenhum cálculo comum ou erro sistemático neste tipo de problema.
• (D) Correta: O cálculo detalhado acima mostra que há 36 maneiras de a família se sentar, respeitando todas as condições. Primeiro, calculamos o total de arranjos possíveis (60) tratando as 4 pessoas e as 2 cadeiras vazias (indistinguíveis) como 6 elementos em permutação circular. Em seguida, calculamos os arranjos onde Pai e Mãe estão juntos (24), tratando-os como um bloco. Finalmente, subtraímos este último valor do total para encontrar os arranjos onde Pai e Mãe não estão juntos ($60 - 24 = 36$).
• (E) Incorreta: Esta alternativa (72) é um distrator comum. Ela seria o resultado se as duas cadeiras vazias fossem consideradas distinguíveis (por exemplo, V1 e V2). Nesse caso, o total de arranjos seria $(6-1)! = 120$, e os arranjos com Pai e Mãe vizinhos seriam $(5-1)! \times 2! = 4! \times 2 = 24 \times 2 = 48$. A diferença seria $120 - 48 = 72$. No entanto, o problema afirma que as "6 cadeiras são iguais", o que implica que as cadeiras vazias são indistinguíveis.