Questão de Raciocínio Lógico Matemático · FGV MPRJ 2025 (nº 36)

Para calcular a probabilidade, primeiro identificamos o total de maneiras de retirar as bolas (casos totais) e depois as maneiras que satisfazem a condição (casos favoráveis). Como a ordem das bolas não altera a soma, usamos combinações para contar os casos.

As 7 bolas são numeradas de 1 a 7.
Números ímpares (I): {1, 3, 5, 7} - 4 bolas
Números pares (P): {2, 4, 6} - 3 bolas

Queremos que a soma dos números das 3 bolas retiradas seja ímpar. A soma de três números é ímpar se:

1. Os três números forem ímpares (I + I + I = Ímpar)
2. Um número for ímpar e dois forem pares (I + P + P = Ímpar)

1. Casos Totais:
O número total de maneiras de retirar 3 bolas de 7, sem reposição e sem considerar a ordem, é dado pela combinação $C(7, 3)$:
$C(7, 3) = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$

2. Casos Favoráveis:

• Cenário 1: Três bolas ímpares (I + I + I)
  Escolhemos 3 bolas ímpares das 4 disponíveis:
  $C(4, 3) = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4 \times 3 \times 2}{3 \times 2 \times 1} = 4$ maneiras.

• Cenário 2: Uma bola ímpar e duas bolas pares (I + P + P)
  Escolhemos 1 bola ímpar das 4 disponíveis: $C(4, 1) = 4$ maneiras.
  Escolhemos 2 bolas pares das 3 disponíveis: $C(3, 2) = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3$ maneiras.
  Multiplicando as escolhas: $C(4, 1) \times C(3, 2) = 4 \times 3 = 12$ maneiras.

O total de casos favoráveis é a soma dos cenários 1 e 2:
Total de casos favoráveis = $4 + 12 = 16$.

3. Probabilidade:
A probabilidade é a razão entre os casos favoráveis e os casos totais:
Probabilidade = $\frac{16}{35}$

• (A) Incorreta: Esta alternativa ($\frac{24}{35}$) representaria 24 casos favoráveis, o que não corresponde aos cálculos corretos.
• (B) Incorreta: Esta alternativa ($\frac{22}{35}$) seria obtida se, por engano, somássemos os casos de "três ímpares" (4) com os casos de "duas ímpares e uma par" ($C(4,2) \times C(3,1) = 6 \times 3 = 18$), resultando em $4+18=22$. No entanto, a soma de "duas ímpares e uma par" (I + I + P) resulta em um número PAR, não ímpar.
• (C) Incorreta: Esta alternativa ($\frac{19}{35}$) é a probabilidade de a soma das 3 bolas ser PAR. Os casos para soma par são: (P + P + P) $C(3,3)=1$ e (I + I + P) $C(4,2) \times C(3,1) = 6 \times 3 = 18$. Total de casos para soma par = $1 + 18 = 19$. Esta é uma armadilha comum, onde o aluno calcula a probabilidade do evento complementar (soma par) em vez do evento pedido (soma ímpar).
• (D) Incorreta: Esta alternativa ($\frac{18}{35}$) representaria 18 casos favoráveis, o que não corresponde aos cálculos corretos.
• (E) Correta: A probabilidade de a soma dos números das 3 bolas retiradas ser ímpar é $\frac{16}{35}$, conforme calculado pela soma dos casos de (ímpar + ímpar + ímpar) e (ímpar + par + par).