Questão nº 56

Questão de Estatística · FGV MP-SC 2022 (nº 56)

FGV2022Analista de Dados e PesquisasEstatística

Uma sociedade empresária precisa decidir sobre o uso de 3 algoritmos distintos em uma tarefa específica. Então, fez um experimento onde aplicou cada um dos algoritmos de forma aleatória em um conjunto de tarefas similares, medindo sua performance. Os resultados estão na tabela a seguir.

Figura da questão de Estatística

Se a performance é representada por $Y$ e sabendo-se que $\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3} y_{ij} = y_{..} = 43$ , $\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3} y_{ij}^2 = 217$ e $\sum_{i=1}^{3} \dfrac{y_{i.}^2}{n} = 208,33$ , e os demais pressupostos inferenciais são atendidos, deseja-se saber se há evidências estatísticas que ao menos um algoritmo tenha performance diferente dos demais.
Considerando o ponto crítico da distribuição F(2,6) = 5,14, ao nível de significância $\alpha = 0,05$ , conclui-se que:

Anão há evidência de que as performances sejam diferentes, pois a estatística calculada $f = 1$ é menor que o valor tabelado; (alternativa correta)
Bhá evidência de que ao menos uma das performances seja diferente das demais, pois a estatística calculada $f = 1$ é menor que o valor tabelado;
Chá evidência de que as performances sejam diferentes, pois a estatística calculada $f = 2$ é menor que o valor tabelado;
Dnão há evidência de que as performances sejam diferentes, pois a estatística calculada $f = 2$ é menor que o valor tabelado;
Enão há evidência de que as performances sejam diferentes, pois a estatística calculada $f = 3$ é menor que o valor tabelado.

Resposta comentada

Gabarito Alternativa A

O conceito-chave aqui é o teste F da ANOVA: ele compara a variância entre os grupos (o quanto as médias dos algoritmos diferem entre si) com a variância dentro dos grupos (a variação natural das tarefas dentro de cada algoritmo). Se a razão entre essas variâncias for grande, há indício de que as médias não são iguais. A estatística F é calculada como $F = \frac{QM_{entre}}{QM_{dentro}}$ , onde $QM$ é o quadrado médio (soma de quadrados dividida pelos graus de liberdade).

Vamos calcular:

Soma de quadrados total (SQT) = $\sum y_{ij}^2 - \frac{y_{..}^2}{N} = 217 - \frac{43^2}{9} = 217 - 205,44 = 11,56$
Soma de quadrados entre (SQE) = $\sum \frac{y_{i.}^2}{n} - \frac{y_{..}^2}{N} = 208,33 - 205,44 = 2,89$
Soma de quadrados dentro (SQD) = SQT - SQE = 11,56 - 2,89 = 8,67
Graus de liberdade: entre = 2 (k-1), dentro = 6 (N-k)
QM_entre = 2,89/2 = 1,445; QM_dentro = 8,67/6 = 1,445
F calculado = 1,445/1,445 = 1

Como o F calculado (1) é menor que o valor crítico (5,14), não rejeitamos a hipótese nula (que as médias são iguais). Ou seja, não há evidência de diferença entre os algoritmos.

(A) Correta: O F calculado é exatamente 1 (pois QM_entre = QM_dentro = 1,445), e como 1 < 5,14, não há evidência de diferença entre as performances dos algoritmos.
(B) Incorreta: Afirma que há evidência de diferença, mas o F calculado (1) é menor que o crítico (5,14), então a hipótese nula não é rejeitada.
(C) Incorreta: O F calculado não é 2, e mesmo que fosse, 2 < 5,14, o que ainda levaria à não rejeição da hipótese nula.
(D) Incorreta: O valor de F não é 2, e a conclusão de "não há evidência" seria correta, mas o número está errado.
(E) Incorreta: O F calculado não é 3; além disso, 3 < 5,14, então a conclusão de não rejeição seria correta, mas o valor está errado.

Armadilha da banca (no distrator mais tentador, a letra B): ela inverte a lógica do teste. Muitos alunos acham que "F pequeno" significa "diferença significativa", mas na verdade F pequeno indica que a variação entre grupos é pequena em relação à variação dentro dos grupos – ou seja, as médias são estatisticamente iguais. A banca também testa se você sabe calcular F corretamente (a pegadinha dos números 2 e 3, que são valores plausíveis de erro de cálculo).

Fonte: FGV MP-SC 2022 Analista de Dados e Pesquisas (Caderno Tipo 1). Reproduzida para fins de estudo.

Questão de Estatística · FGV MP-SC 2022 (nº 56)

Resposta comentada

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