Questão de Logística · FGV DPE-RS 2023 (nº 54)

O método do centro de gravidade é uma técnica usada para encontrar a localização ideal para uma nova instalação (como um armazém) que minimiza os custos totais de transporte, considerando a posição geográfica e a demanda de cada mercado existente. Ele calcula um ponto médio ponderado pelas demandas.

Para calcular as coordenadas do centro de gravidade ($X_{CG}$, $Y_{CG}$), usamos as fórmulas:
$X_{CG} = \frac{\sum (X_i \cdot D_i)}{\sum D_i}$
$Y_{CG} = \frac{\sum (Y_i \cdot D_i)}{\sum D_i}$

Onde $X_i$ e $Y_i$ são as coordenadas de cada mercado e $D_i$ é a demanda desse mercado.

1. Calcular o somatório das demandas ($\sum D_i$):
   $1000 + 800 + 1200 + 600 + 900 = 4500$

2. Calcular o somatório de $X_i \cdot D_i$:
   $(100 \cdot 1000) + (50 \cdot 800) + (150 \cdot 1200) + (80 \cdot 600) + (200 \cdot 900)$
   = 100000 + 40000 + 180000 + 48000 + 180000 = 548000\

3. Calcular o somatório de $Y_i \cdot D_i$:
   $(100 \cdot 1000) + (200 \cdot 800) + (50 \cdot 1200) + (150 \cdot 600) + (180 \cdot 900)$
   = 100000 + 160000 + 60000 + 90000 + 162000 = 572000\

4. Calcular as coordenadas do centro de gravidade:
   $X_{CG} = \frac{548000}{4500} \approx 121.78$
   $Y_{CG} = \frac{572000}{4500} \approx 127.11$

O centro de gravidade calculado é aproximadamente (121.78, 127.11). Agora, precisamos encontrar qual das cidades listadas é a mais próxima desse ponto. Calculamos a distância Euclidiana ($d = \sqrt{(X_2 - X_1)^2 + (Y_2 - Y_1)^2}$) de cada cidade ao centro de gravidade:

• São Paulo (100, 100): $d = \sqrt{(121.78 - 100)^2 + (127.11 - 100)^2} = \sqrt{21.78^2 + 27.11^2} = \sqrt{474.37 + 734.95} = \sqrt{1209.32} \approx 34.77$
• São José do Rio Preto (50, 200): $d = \sqrt{(121.78 - 50)^2 + (127.11 - 200)^2} = \sqrt{71.78^2 + (-72.89)^2} = \sqrt{5152.37 + 5312.95} = \sqrt{10465.32} \approx 102.29$
• Curitiba (150, 50): $d = \sqrt{(121.78 - 150)^2 + (127.11 - 50)^2} = \sqrt{(-28.22)^2 + 77.11^2} = \sqrt{796.37 + 5946.95} = \sqrt{6743.32} \approx 82.12$
• Ribeirão Preto (80, 150): $d = \sqrt{(121.78 - 80)^2 + (127.11 - 150)^2} = \sqrt{41.78^2 + (-22.89)^2} = \sqrt{1745.57 + 523.95} = \sqrt{2269.52} \approx 47.64$
• Belo Horizonte (200, 180): $d = \sqrt{(121.78 - 200)^2 + (127.11 - 180)^2} = \sqrt{(-78.22)^2 + (-52.89)^2} = \sqrt{6118.37 + 2797.35} = \sqrt{8915.72} \approx 94.42$

A menor distância é para São Paulo (aproximadamente 34.77).

(A) Correta: São Paulo é a cidade cujas coordenadas (100, 100) são as mais próximas do centro de gravidade calculado (121.78, 127.11), indicando ser a localização mais eficiente para o armazém segundo o método.
(B) Incorreta: São José do Rio Preto não é a cidade mais próxima do centro de gravidade calculado.
(C) Incorreta: Curitiba não é a cidade mais próxima do centro de gravidade calculado, apesar de ter a maior demanda, sua posição geográfica não a torna a mais central ponderada.
(D) Incorreta: Ribeirão Preto não é a cidade mais próxima do centro de gravidade calculado, embora seja a segunda mais próxima, a diferença para São Paulo é significativa. A armadilha aqui seria um erro de cálculo ou arredondamento que poderia levar a considerá-la a mais próxima.
(E) Incorreta: Belo Horizonte não é a cidade mais próxima do centro de gravidade calculado.