Questão de Estatística · FGV CVM 2024 (nº 61)

Quando um evento pode acontecer de diferentes maneiras, a probabilidade total dele ocorrer é a soma das probabilidades de cada uma dessas maneiras, multiplicada pela probabilidade de cada maneira específica. Para calcular as probabilidades de X estar em certos intervalos, usamos a distribuição Normal, que descreve como os valores de X se espalham em torno de sua média.

Cálculos:

1. Identificar a distribuição de X:
   X segue uma distribuição Normal com média $\mu = 6$ e variância $\sigma^2 = 4$.
   Portanto, o desvio padrão é $\sigma = \sqrt{4} = 2$.

2. Calcular as probabilidades dos intervalos de X:
   Vamos padronizar os valores de X para a distribuição Normal padrão Z, usando a fórmula $Z = (X - \mu) / \sigma$.

   • Intervalo 1: $X < 4$
     $Z_1 = (4 - 6) / 2 = -2 / 2 = -1$.
     $P(X < 4) = P(Z < -1)$. Pela simetria da Normal, $P(Z < -1) = P(Z > 1)$.
     Consultando a tabela fornecida: $P(Z \le 1) = 0,8413$.
     Então, $P(Z > 1) = 1 - P(Z \le 1) = 1 - 0,8413 = 0,1587$.

   • Intervalo 2: $X > 7$
     $Z_2 = (7 - 6) / 2 = 1 / 2 = 0,5$.
     $P(X > 7) = P(Z > 0,5)$.
     Consultando a tabela fornecida: $P(Z \le 0,5) = 0,6915$.
     Então, $P(Z > 0,5) = 1 - P(Z \le 0,5) = 1 - 0,6915 = 0,3085$.

   • Intervalo 3: $4 \le X \le 7$
     $P(4 \le X \le 7) = P(X \le 7) - P(X < 4)$.
     $P(X \le 7) = P(Z \le 0,5) = 0,6915$.
     $P(X < 4) = P(Z < -1) = 0,1587$.
     Então, $P(4 \le X \le 7) = 0,6915 - 0,1587 = 0,5328$.
     (Verificação: $0,1587 + 0,3085 + 0,5328 = 1,0000$, que é a soma das probabilidades de todos os eventos mutuamente exclusivos e coletivamente exaustivos).

3. Aplicar a Lei da Probabilidade Total:
   Seja D o evento de o emissor se tornar inadimplente. A probabilidade de D é dada por:
   $P(D) = P(D | X < 4) \cdot P(X < 4) + P(D | 4 \le X \le 7) \cdot P(4 \le X \le 7) + P(D | X > 7) \cdot P(X > 7)$
   Substituindo os valores:
   $P(D) = (0,6 \cdot 0,1587) + (0,4 \cdot 0,5328) + (0,2 \cdot 0,3085)$
   $P(D) = 0,09522 + 0,21312 + 0,06170$
   $P(D) = 0,37004$

   Arredondando para duas casas decimais, $P(D) \approx 0,37$.

(A) Incorreta: O valor 0,35 seria obtido se houvesse algum erro no cálculo das probabilidades dos intervalos de X ou na aplicação da fórmula da probabilidade total.
(B) Correta: A probabilidade de inadimplência é calculada usando a Lei da Probabilidade Total, combinando as probabilidades condicionais de inadimplência para cada faixa do indicador X com as probabilidades de X cair em cada uma dessas faixas, determinadas pela distribuição Normal. O resultado é 0,37.
(C) Incorreta: O valor 0,39 não corresponde ao cálculo correto. Um erro comum (distrator) seria, por exemplo, inverter os valores de $P(Z \le x)$ e $P(Z > x)$ na tabela, ou usar valores incorretos para os desvios padrão.
(D) Incorreta: O valor 0,41 não é o resultado da aplicação correta da Lei da Probabilidade Total com os dados fornecidos.
(E) Incorreta: O valor 0,43 não corresponde ao cálculo correto.