Questão de Matemática e Raciocínio Lógico · FCC TRT17 2022 (nº 21)

Uma equação do 1º grau é uma afirmação matemática que usa um sinal de igualdade (=) para mostrar que duas expressões são equivalentes, e onde a maior potência de qualquer incógnita (a letra que representa um número desconhecido, como 'x' ou 'y') é 1. Para resolver, o objetivo é isolar a incógnita, realizando as mesmas operações em ambos os lados da equação para manter o equilíbrio.

Para este problema, vamos definir as incógnitas:

• Seja 'x' o número de notas de R$ 10,00.
• O número de notas de R$ 20,00 é 20 vezes esse número, ou seja, $20x$.
• Seja 'y' o número de notas de R$ 50,00.

Agora, vamos calcular o valor total de cada tipo de nota:

• Valor das notas de R$ 10,00: $10 \times x = 10x$
• Valor das notas de R$ 20,00: $20 \times (20x) = 400x$
• Valor das notas de R$ 50,00: $50 \times y = 50y$

A soma desses valores deve ser igual ao total do cheque, R$ 2.700,00:
$10x + 400x + 50y = 2700 \410x + 50y = 2700$

Para encontrar o número de notas de R$ 50,00 (y), precisamos encontrar um valor inteiro para 'x' que também resulte em um valor inteiro para 'y'. Podemos isolar 'y':
$50y = 2700 - 410x$
$y = \frac{2700 - 410x}{50}$
Simplificando a fração (dividindo o numerador e o denominador por 10):
$y = \frac{270 - 41x}{5}$

Como 'y' deve ser um número inteiro de notas, a expressão $(270 - 41x)$ precisa ser divisível por 5. Para que um número seja divisível por 5, seu último dígito deve ser 0 ou 5. Como 270 termina em 0, $41x$ também deve terminar em 0 ou 5. Isso significa que 'x' deve terminar em 0 ou 5. Vamos testar os menores valores possíveis para 'x':

• Se $x=1$: $y = \frac{270 - 41(1)}{5} = \frac{229}{5}$ (não é inteiro)
• Se $x=2$: $y = \frac{270 - 41(2)}{5} = \frac{270 - 82}{5} = \frac{188}{5}$ (não é inteiro)
• Se $x=3$: $y = \frac{270 - 41(3)}{5} = \frac{270 - 123}{5} = \frac{147}{5}$ (não é inteiro)
• Se $x=4$: $y = \frac{270 - 41(4)}{5} = \frac{270 - 164}{5} = \frac{106}{5}$ (não é inteiro)
• Se $x=5$: $y = \frac{270 - 41(5)}{5} = \frac{270 - 205}{5} = \frac{65}{5} = 13$ (É um número inteiro!)

Portanto, quando $x=5$, o número de notas de R$ 50,00 é 13.
Vamos verificar:

• 5 notas de R$ 10,00 = R$ 50,00
• $20 \times 5 = 100$ notas de R$ 20,00 = R$ 2.000,00
• 13 notas de R$ 50,00 = R$ 650,00
  Total = $50 + 2000 + 650 = R$ 2.700,00. A soma confere.

(A) Incorreta: Se Marcos recebesse 12 notas de R$ 50,00, o valor restante para as notas de R$ 10 e R$ 20 não permitiria um número inteiro de notas de R$ 10.
(B) Incorreta: Se Marcos recebesse 11 notas de R$ 50,00, o valor restante para as notas de R$ 10 e R$ 20 não permitiria um número inteiro de notas de R$ 10.
(C) Incorreta: Se Marcos recebesse 10 notas de R$ 50,00, o valor restante para as notas de R$ 10 e R$ 20 não permitiria um número inteiro de notas de R$ 10.
(D) Correta: Conforme a resolução da equação, ao testar valores inteiros para 'x' (número de notas de R$ 10), encontramos que $x=5$ resulta em $y=13$ (número de notas de R$ 50), satisfazendo todas as condições do problema e o valor total. A armadilha da banca pode ser a dificuldade em perceber que 'x' precisa ser um número inteiro, ou em testar valores de 'x' sistematicamente.
(E) Incorreta: Se Marcos recebesse 14 notas de R$ 50,00, o valor restante para as notas de R$ 10 e R$ 20 não permitiria um número inteiro de notas de R$ 10.