Questão de Matemática e Raciocínio Lógico · FCC MPEPE 2018 (nº 13)

A condição de que exatamente uma mensagem é verdadeira e as demais são falsas é a chave para resolver o problema. Ela nos permite deduzir onde o prêmio pode e não pode estar, mesmo antes de abrir qualquer caixa.

Analisando as mensagens:

• A mensagem na caixa 1 diz: "Seu prêmio está na caixa 2."
• A mensagem na caixa 10 diz: "Seu prêmio está na caixa 9."
• Para as caixas de 2 a 9, a mensagem diz: "Seu prêmio está na caixa anterior ou na posterior."

Agora, vamos verificar onde o prêmio pode estar para que apenas uma mensagem seja verdadeira:

1. Se o prêmio estiver na caixa 1: A mensagem da caixa 2 ("Seu prêmio está na caixa 1 ou 3") seria verdadeira. Todas as outras mensagens seriam falsas. Isso é consistente com a regra.
2. Se o prêmio estiver na caixa 10: A mensagem da caixa 9 ("Seu prêmio está na caixa 8 ou 10") seria verdadeira. Todas as outras mensagens seriam falsas. Isso é consistente com a regra.
3. Se o prêmio estiver em qualquer caixa $i$ entre 2 e 9 (ex: caixa 3):
   • A mensagem da caixa $i-1$ (ex: caixa 2, "Seu prêmio está na caixa 1 ou 3") seria verdadeira.
   • A mensagem da caixa $i$ (ex: caixa 3, "Seu prêmio está na caixa 2 ou 4") seria verdadeira.
   • A mensagem da caixa $i+1$ (ex: caixa 4, "Seu prêmio está na caixa 3 ou 5") seria verdadeira.
     Nesse caso, haveria três mensagens verdadeiras simultaneamente, o que contradiz a regra de que apenas uma mensagem é verdadeira. Portanto, o prêmio não pode estar em nenhuma caixa de 2 a 9.

A dedução crucial é: o prêmio só pode estar na caixa 1 ou na caixa 10.

(A) Incorreta: Se o participante examinar a caixa 3 e ela estiver vazia (o que é esperado, pois o prêmio não pode estar lá), ele ainda não saberá se o prêmio está na caixa 1 ou na caixa 10.
(B) Incorreta: Se o participante examinar a caixa 5 e ela estiver vazia (o que é esperado), ele ainda não saberá se o prêmio está na caixa 1 ou na caixa 10.
(C) Incorreta: Se o participante examinar a caixa 6 e ela estiver vazia (o que é esperado), ele ainda não saberá se o prêmio está na caixa 1 ou na caixa 10.
(D) Incorreta: Se o participante examinar a caixa 7 e ela estiver vazia (o que é esperado), ele ainda não saberá se o prêmio está na caixa 1 ou na caixa 10.
(E) Correta: Se o participante examinar a caixa 10, há duas possibilidades:
1. O prêmio está na caixa 10: Ele o encontrou e sabe a localização.
2. O prêmio não está na caixa 10: Como já deduzimos que o prêmio só pode estar na caixa 1 ou na caixa 10, se não está na 10, certamente está na caixa 1. Ele sabe a localização.
Em ambos os casos, ele certamente descobrirá onde está o prêmio. (Abrir a caixa 1 também seria uma resposta correta, caso estivesse entre as alternativas).