Questão de Raciocínio Lógico · FCC DPE-RS 2017 (nº 20)

Para entender uma sequência de números, especialmente com frações, o primeiro passo é procurar um padrão nos numeradores e denominadores separadamente. Muitas vezes, podemos expressar o termo geral $a_k$ (o k-ésimo termo) usando uma fórmula que depende de $k$.

Vamos analisar a sequência dada: \left(\frac{10}{3}; \frac{17}{4}; \frac{26}{5}; \frac{37}{6}; ...\right)\

1. Denominadores: $3, 4, 5, 6, ...$Se$k$representa a posição do termo (começando com$k=1$), então o denominador do$k$-ésimo termo é$D_k = k+2$.

2. Numeradores: $10, 17, 26, 37, ... Vamos ver as diferenças entre os termos: \17 - 10 = 7 \26 - 17 = 9 \37 - 26 = 11 As diferenças formam uma P.A. (\7, 9, 11, ...$) com razão 2. Isso indica que o numerador é uma função quadrática de$k$, do tipo$N_k = Ak^2 + Bk + C$. Como a segunda diferença é constante e igual a 2, temos$2A=2 \Rightarrow A=1$. Então,$N_k = k^2 + Bk + C$. Para$k=1: 1^2 + B(1) + C = 10 \Rightarrow 1+B+C=10 \Rightarrow B+C=9$. Para$k=2: 2^2 + B(2) + C = 17 \Rightarrow 4+2B+C=17 \Rightarrow 2B+C=13$. Subtraindo a primeira equação da segunda:$(2B+C) - (B+C) = 13 - 9 \Rightarrow B=4$. Substituindo$B=4$na primeira equação:$4+C=9 \Rightarrow C=5$. Assim, o numerador do$k$-ésimo termo é$N_k = k^2 + 4k + 5$.

3. Termo geral: $a_k = \frac{k^2 + 4k + 5}{k+2}$.
   Podemos simplificar essa expressão dividindo o numerador pelo denominador ou fatorando:
   $k^2 + 4k + 5 = (k^2 + 4k + 4) + 1 = (k+2)^2 + 1$.
   Então, $a_k = \frac{(k+2)^2 + 1}{k+2} = \frac{(k+2)^2}{k+2} + \frac{1}{k+2} = (k+2) + \frac{1}{k+2}$.
   Essa forma mostra claramente que cada termo é um número inteiro $(k+2)$ mais uma fração pequena $\frac{1}{k+2}$, o que justifica a afirmação de que os números são "muito próximos a números inteiros".

4. Termo mais próximo a 10:
   Queremos $a_k \approx 10$. Pela fórmula, $a_k = (k+2) + \frac{1}{k+2}$.
   Se $k+2 = 10$, então $k=8$. O termo seria $a_8 = 10 + \frac{1}{10} = \frac{101}{10} = 10.1$.
   Se $k+2 = 9$, então $k=7$. O termo seria $a_7 = 9 + \frac{1}{9} = \frac{82}{9} \approx 9.111$.
   Comparando as distâncias a 10:
   $|10.1 - 10| = 0.1$
   $|9.111 - 10| = 0.889$
   O termo mais próximo a 10 é $a_8 = \frac{101}{10}$.

5. Termo mais próximo a 20:
   Queremos $a_k \approx 20$.
   Se $k+2 = 20$, então $k=18$. O termo seria $a_{18} = 20 + \frac{1}{20} = \frac{401}{20} = 20.05$.
   Se $k+2 = 19$, então $k=17$. O termo seria $a_{17} = 19 + \frac{1}{19} = \frac{362}{19} \approx 19.0526$.
   Comparando as distâncias a 20:
   $|20.05 - 20| = 0.05$
   $|19.0526 - 20| = 0.9474$
   O termo mais próximo a 20 é $a_{18} = \frac{401}{20}$.

6. Soma dos termos:
   A soma é $a_8 + a_{18} = \frac{101}{10} + \frac{401}{20}$.
   Para somar, encontramos um denominador comum (20):
   $\frac{101 \times 2}{10 \times 2} + \frac{401}{20} = \frac{202}{20} + \frac{401}{20} = \frac{202 + 401}{20} = \frac{603}{20}$.

(A) Incorreta: O resultado desta alternativa não corresponde à soma dos termos corretos, indicando um erro de cálculo ou a escolha de termos incorretos.
(B) Incorreta: Esta alternativa não é a soma dos termos corretos e nem mesmo um termo da sequência, sendo resultado de um erro de cálculo.
(C) Correta: O termo mais próximo de 10 é $a_8 = \frac{101}{10}$, e o termo mais próximo de 20 é $a_{18} = \frac{401}{20}$. A soma deles é $\frac{101}{10} + \frac{401}{20} = \frac{202}{20} + \frac{401}{20} = \frac{603}{20}$.
(D) Incorreta: Este valor ($\frac{901}{30}$) é o termo da sequência mais próximo de 30 ($a_{28} = 28+2 + \frac{1}{28+2} = 30 + \frac{1}{30}$), não a soma dos termos próximos a 10 e 20. A armadilha é confundir o número 20 com 30 ou selecionar um termo da sequência que aparece nas alternativas.
(E) Incorreta: Esta alternativa não é a soma dos termos corretos e nem mesmo um termo da sequência, sendo resultado de um erro de cálculo.