Questão de Raciocínio Lógico · FCC CMFOR 2019 (nº 28)

Venn Diagrams são representações visuais que nos ajudam a entender como diferentes grupos de elementos (neste caso, alunos que praticam esportes) se relacionam. A interseção é a área onde os grupos se sobrepõem, indicando elementos que pertencem a mais de um grupo.

Para resolver este problema, vamos definir as quantidades de alunos que praticam exatamente uma, duas ou três modalidades:

• $x_1$: número de alunos que treinam exatamente uma modalidade.
• $x_2$: número de alunos que treinam exatamente duas modalidades (o que queremos encontrar).
• $x_3$: número de alunos que treinam exatamente três modalidades.

Sabemos que:

1. O total de alunos é 72, e todos treinam em pelo menos uma modalidade:
   x_1 + x_2 + x_3 = 72\
2. O número de alunos que treinam as três modalidades é 4:
   $x_3 = 4$

Substituindo $x_3$ na primeira equação:
$x_1 + x_2 + 4 = 72$
$x_1 + x_2 = 68$ (Equação I)

Agora, vamos usar a soma dos alunos em cada modalidade individualmente:
Futebol (F) = 33
Atletismo (A) = 34
Natação (N) = 26
Soma total = $33 + 34 + 26 = 93$

Essa soma (93) conta os alunos da seguinte forma:

• Alunos que treinam exatamente uma modalidade ($x_1$) são contados uma vez.
• Alunos que treinam exatamente duas modalidades ($x_2$) são contados duas vezes (uma para cada modalidade que praticam).
• Alunos que treinam exatamente três modalidades ($x_3$) são contados três vezes (uma para cada modalidade que praticam).

Então, podemos formar a segunda equação:
$x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 93$
Substituindo $x_3 = 4$:
$x_1 + 2x_2 + 3(4) = 93$
$x_1 + 2x_2 + 12 = 93$
$x_1 + 2x_2 = 81$ (Equação II)

Agora temos um sistema de duas equações:
I) $x_1 + x_2 = 68$
II) $x_1 + 2x_2 = 81$

Para encontrar $x_2$, subtraímos a Equação I da Equação II:
$(x_1 + 2x_2) - (x_1 + x_2) = 81 - 68$
$x_2 = 13$

Portanto, o número de alunos que treinam exatamente duas modalidades é 13.

(A) Incorreta: O valor 27 não corresponde ao cálculo do número de alunos que treinam exatamente duas modalidades.
(B) Incorreta: O valor 16 não corresponde ao cálculo do número de alunos que treinam exatamente duas modalidades.
(C) Incorreta: O valor 19 não corresponde ao cálculo do número de alunos que treinam exatamente duas modalidades.
(D) Incorreta: O valor 22 não corresponde ao cálculo do número de alunos que treinam exatamente duas modalidades.
(E) Correta: O cálculo usando o sistema de equações $x_1 + x_2 = 68$ e $x_1 + 2x_2 = 81$ resulta em $x_2 = 13$, que é o número de alunos que treinam exatamente duas modalidades. Uma armadilha comum em problemas de Diagramas de Venn é confundir a soma das interseções de pares (por exemplo, (F e A) + (F e N) + (A e N)) com o número de elementos que estão exatamente em duas categorias. A soma das interseções de pares neste problema seria 25 ($x_2 + 3x_3 = 13 + 3 \times 4 = 25$), um valor que não está entre as alternativas, mas ilustra um erro frequente.