Questão de Estatística · FGV TJ-MS 2024 (nº 51)

A variância do modelo em regressão linear múltipla, também chamada de variância do erro ou residual ($\sigma^2$), mede o quanto os valores observados ($Y_i$) se desviam dos valores previstos pelo modelo ($\hat{Y}_i$). O estimador não viesado para essa variância é uma fórmula que, em média, acerta o valor real da variância, e é calculado como a soma dos quadrados dos resíduos dividida pelos graus de liberdade.

(A) Incorreta: O numerador $\sum_{i=1}^{n}(\hat{Y}_i-\bar{Y})^2$ representa a Soma dos Quadrados da Regressão (variabilidade explicada pelo modelo), não a variabilidade do erro.
(B) Incorreta: O numerador $\sum_{i=1}^{n}(\hat{Y}_i-\bar{Y})^2$ representa a Soma dos Quadrados da Regressão, não a variabilidade do erro.
(C) Incorreta: O numerador $\sum_{i=1}^{n}(Y_i-\bar{Y})^2$ representa a Soma Total dos Quadrados (variabilidade total da variável dependente), não a variabilidade do erro.
(D) Correta: O numerador $\sum_{i=1}^{n}(Y_i-\hat{Y}_i)^2$ representa a Soma dos Quadrados dos Resíduos (SQR), que é a medida da variabilidade não explicada pelo modelo, e é o componente correto para estimar a variância do erro. O denominador $(n-k)$ representa os graus de liberdade. Para que este estimador seja não viesado, $k$ no denominador deve ser interpretado como o número total de parâmetros estimados no modelo (incluindo o intercepto e os coeficientes das variáveis independentes).
(E) Incorreta: O numerador $\sum_{i=1}^{n}(Y_i-\hat{Y}_i)^2$ é o correto (Soma dos Quadrados dos Resíduos). No entanto, o denominador $(n-k-1)$ seria o número de graus de liberdade se $k$ representasse apenas o número de variáveis independentes excluindo o intercepto (pois o número de parâmetros seria $k+1$, e os graus de liberdade $n-(k+1)$). A armadilha da banca aqui é que esta é a forma mais comum e estatisticamente padrão para o denominador quando $k$ é o número de variáveis independentes e há um intercepto. Contudo, para que a alternativa D seja a correta (conforme o gabarito oficial), $k$ no denominador deve ser interpretado como o número total de parâmetros estimados, o que torna $(n-k-1)$ incorreto sob essa interpretação.