Questão de Estatística · FGV TCU 2021 (nº 55)

A distribuição binomial modela o número de sucessos em uma sequência de tentativas independentes, onde cada tentativa tem apenas dois resultados possíveis (sucesso ou fracasso) e a probabilidade de sucesso é constante.

Para uma distribuição binomial, a média é dada por $E(X) = n \cdot p$ e a variância por $Var(X) = n \cdot p \cdot (1-p)$, onde $n$ é o número de ensaios e $p$ é a probabilidade de sucesso.

Dados:
Média ($E(X)$) = 20
Variância ($Var(X)$) = 4

1. Usamos as fórmulas:
   $n \cdot p = 20$ (Equação 1)
   $n \cdot p \cdot (1-p) = 4$ (Equação 2)

2. Substituímos a Equação 1 na Equação 2:
   $20 \cdot (1-p) = 4$
   $1-p = \frac{4}{20}$
   $1-p = 0.2$$p = 1 - 0.2$$p = 0.8$

3. Agora, substituímos o valor de $p$ na Equação 1 para encontrar $n$:
   $n \cdot 0.8 = 20$
   $n = \frac{20}{0.8}$
   $n = 25$

(A) Incorreta: 20 é o valor da média, não o número de ensaios.
(B) Incorreta: Não há cálculo direto que leve a este valor.
(C) Correta: O número de ensaios ($n$) é 25, calculado a partir das fórmulas da média e da variância da distribuição binomial.
(D) Incorreta: Não corresponde ao resultado dos cálculos corretos.
(E) Incorreta: Esta seria uma armadilha se o valor de $1-p$ (que é 0.2) fosse erroneamente usado como $p$ na fórmula da média ($n \cdot 0.2 = 20 \implies n = 100$).