Questão de Estatística · FGV TCU 2021 (nº 52)

Um intervalo de confiança é uma estimativa de um intervalo de valores que provavelmente contém um parâmetro populacional desconhecido (como a verdadeira proporção de processos favoráveis), com um certo nível de certeza (neste caso, 95%). Para uma proporção, ele é construído em torno da proporção amostral observada, adicionando e subtraindo uma margem de erro.

Para resolver a questão, primeiro calculamos a proporção combinada de processos favoráveis dos dois primeiros anos, que serve como a melhor estimativa para a probabilidade de um processo ser favorável:

• Total de processos favoráveis = 850 (1º ano) + 750 (2º ano) = 1600
• Total de processos observados = 1000 (1º ano) + 1000 (2º ano) = 2000
• Proporção estimada ($\hat{p}$) = 1600 / 2000 = 0.80

Para um intervalo de 95% de confiança, o valor crítico de Z ($Z_{\alpha/2}$) é 1.96.
A fórmula geral para o intervalo de confiança de uma proporção é: $\hat{p} \pm Z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$, onde $n$ é o tamanho da amostra usada para estimar $\hat{p}$. Neste caso, $n = 2000$.

Portanto, o intervalo de confiança para a proporção de processos favoráveis é:
$0.80 \pm 1.96 \sqrt{\frac{0.80 \times (1-0.80)}{2000}} = 0.80 \pm 1.96 \sqrt{\frac{0.80 \times 0.20}{2000}}$

A questão pede o intervalo para a quantidade de processos favoráveis no terceiro ano (2000 processos). Se o intervalo para a proporção é $(L, U)$, o intervalo para a quantidade seria $(2000 \times L, 2000 \times U)$. No entanto, as alternativas apresentadas são todas no formato de intervalo para a proporção. Isso indica que a questão, apesar de perguntar pela "quantidade", espera que o aluno identifique o intervalo de confiança para a proporção.

(A) Incorreta: O ponto central do intervalo (0.2) está errado, deveria ser 0.8. Além disso, o valor de Z (1.64) é para um nível de confiança de 90%, não 95%, e o termo dentro da raiz está incorreto.
(B) Correta: Esta alternativa apresenta o ponto central correto (0.8) e o valor de Z correto para 95% de confiança (1.96). O termo $\sqrt{ }$ representa o erro padrão da proporção, que deve ser $\sqrt{\frac{0.8 \times 0.2}{2000}}$. Embora a questão peça a "quantidade" e as alternativas sejam para a "proporção", esta é a única alternativa que segue a estrutura correta para o intervalo de confiança da proporção. Para obter a quantidade, multiplicaríamos os limites do intervalo por 2000.
(C) Incorreta: O ponto central do intervalo (0.2) está errado. Este valor (0.2) representa a proporção de processos desfavoráveis ($1-\hat{p}$), não favoráveis. Esta é uma armadilha comum para quem confunde $\hat{p}$ com $1-\hat{p}$.
(D) Incorreta: Embora o ponto central (0.8) esteja correto, o valor de Z (1.64) é para um nível de confiança de 90%, não 95%. Para 95% de confiança, o valor correto de Z é 1.96. Esta é uma armadilha frequente em questões de intervalo de confiança.
(E) Incorreta: Embora o ponto central (0.8) e o valor de Z (1.96) estejam corretos, o termo $2/5$(que é 0.4) não representa o erro padrão da proporção, que deveria ser$\sqrt{\frac{0.8 \times 0.2}{2000}}$.