Questão de Estatística · FGV TCU 2021 (nº 51)

A covariância amostral é uma medida estatística que indica a direção e a força da relação linear entre duas variáveis. Um valor positivo sugere que as variáveis tendem a aumentar juntas, um valor negativo que uma aumenta enquanto a outra diminui, e um valor de zero indica a ausência de uma relação linear.

• (A) Incorreta: A covariância não é 1. Um valor próximo de 1 indicaria uma forte relação linear positiva, o que não se aplica a uma função quadrática simétrica.
• (B) Incorreta: A covariância não é 2001. Este valor corresponde ao número total de observações ($n$), e não ao resultado da covariância.
• (C) Incorreta: A covariância não é 1001. Este número representa a quantidade de valores não negativos (ou não positivos) na sequência $x_i$, não tendo relação com o cálculo da covariância.
• (D) Correta: A covariância é zero. A sequência $x_i$ é simétrica em torno de sua média, que é $0$. A fórmula da covariância amostral é$Cov(X, Y) = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})$. Como$\bar{x}=0$e$y_i=x_i^2$, a expressão se simplifica para$Cov(X, Y) = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} x_i(x_i^2 - \bar{y}) = \frac{1}{n-1} \left( \sum_{i=1}^{n} x_i^3 - \bar{y} \sum_{i=1}^{n} x_i \right)$. Devido à simetria de$x_i$em torno de zero,$\sum x_i = 0$e$\sum x_i^3 = 0$(pois$(-k)^3 = -k^3, e os termos se cancelam em pares). Assim, a covariância é \0$. A armadilha aqui é pensar que, por haver uma relação clara ($y=x^2$), a covariância não poderia ser zero; no entanto, a covariância mede apenas a relação linear, e não qualquer tipo de relação.
• (E) Incorreta: A covariância não é -1. Um valor próximo de -1 indicaria uma forte relação linear negativa, o que não se aplica a uma função quadrática simétrica.