Questão de Ciências Econômicas · FGV TCE-TO 2022 (nº 47)

A produtividade marginal de um fator de produção (como capital ou trabalho) mede o quanto a produção total aumenta quando adicionamos uma unidade extra desse fator, mantendo os outros fatores constantes. Matematicamente, é calculada como a derivada parcial da função de produção em relação a esse fator.

A função de produção é $q = 30k^{1/3}l^{2/3}$.

Primeiro, calculamos as produtividades marginais:
$PMgK = \dfrac{\partial q}{\partial k} = 30 \cdot \dfrac{1}{3} k^{(1/3 - 1)} l^{2/3} = 10k^{-2/3}l^{2/3} = 10 \left(\dfrac{l}{k}\right)^{2/3}$
$PMgL = \dfrac{\partial q}{\partial l} = 30 \cdot \dfrac{2}{3} k^{1/3} l^{(2/3 - 1)} = 20k^{1/3}l^{-1/3} = 20 \left(\dfrac{k}{l}\right)^{1/3}$

(A) Incorreta: Calculando PMgK para $k=8$ e $l=1$: $PMgK = 10 \left(\dfrac{1}{8}\right)^{2/3} = 10 \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = 10 \cdot \dfrac{1}{4} = 2.5$. O valor dado (40) está errado.
(B) Incorreta: Calculando PMgL para $k=8$ e $l=1$: $PMgL = 20 \left(\dfrac{8}{1}\right)^{1/3} = 20 \cdot 2 = 40$. O valor dado (20) está errado.
(C) Incorreta: Calculando PMgK para $k=1$ e $l=8$: $PMgK = 10 \left(\dfrac{8}{1}\right)^{2/3} = 10 \cdot (8^{1/3})^2 = 10 \cdot 2^2 = 10 \cdot 4 = 40$. O valor dado (5) está errado.
(D) Correta: Para $k=8$ e $l=1$: PMgK = 2.5 (calculado em A) e PMgL = 40 (calculado em B). Como $40 > 2.5$, a afirmação PMgL > PMgK é verdadeira. **(E) Incorreta:** A razão entre PMgL e PMgK é$\dfrac{PMgL}{PMgK} = \dfrac{20k^{1/3}l^{-1/3}}{10k^{-2/3}l^{2/3}} = 2k^{(1/3 - (-2/3))}l^{(-1/3 - 2/3)} = 2k^1l^{-1} = 2\dfrac{k}{l}$. A alternativa apresenta$\left(\dfrac{k}{l}\right)^{2/3}$, que está incorreta. A armadilha aqui é a manipulação algébrica dos expoentes e a simplificação da constante.