Questão de Engenharia Civil · FGV TCE-PA 2024 (nº 86)

O Valor Presente Líquido (VPL) é uma métrica financeira que calcula o valor atual de todos os fluxos de caixa futuros de um projeto (receitas menos despesas), descontados a uma taxa de juros específica, e subtrai o investimento inicial. Se o VPL for positivo, o projeto é considerado atrativo.

• Cálculo:

  1. Investimento Inicial: R$100.000 (saída de caixa no tempo 0).
  2. Retornos Anuais: R$20.000 por ano, a partir do próximo ano, continuamente no futuro. Isso descreve uma perpetuidade ordinária (pagamentos no final de cada período, começando em t=1).
  3. Taxa de Desconto: 10% (i = 0,10).
  4. Aproximação Fornecida: $\frac{1}{1,1} \approx 0,9$. Esta aproximação é crucial e representa o fator de desconto para um único período, ou seja, $\frac{1}{(1+i)}$.

  O valor presente de uma perpetuidade é a soma infinita dos fluxos de caixa descontados:
  $PV_{retornos} = \sum_{t=1}^{\infty} \frac{PMT}{(1+i)^t} = PMT \times \left[ \frac{1}{1+i} + \left(\frac{1}{1+i}\right)^2 + \left(\frac{1}{1+i}\right)^3 + \dots \right]$
  A questão nos instrui a usar a aproximação $\frac{1}{1+i} \approx 0,9$. Assim, a série se torna:
  PV_{retornos} = R\20.000 \times [0,9 + (0,9)^2 + (0,9)^3 + \dots]$Esta é uma série geométrica infinita com primeiro termo$a = 0,9$e razão$r = 0,9$. A soma de tal série é$\frac{a}{1-r}$. Soma da série$= \frac{0,9}{1-0,9} = \frac{0,9}{0,1} = 9$.

  Portanto, o Valor Presente dos Retornos é:
  $PV_{retornos} = R$20.000 \times 9 = R$180.000$.

  Finalmente, o VPL é calculado subtraindo o investimento inicial do valor presente dos retornos:
  $VPL = PV_{retornos} - Investimento\_Inicial$
  VPL = R\180.000 - R$100.000 = R$80.000$.

• (A) Correta: O cálculo detalhado acima, utilizando a aproximação fornecida para o fator de desconto em cada termo da série geométrica da perpetuidade, resulta em R$80.000.

• (B) Incorreta: Esta alternativa seria o resultado se a fórmula padrão da perpetuidade ($PMT/i$) fosse usada sem aplicar a aproximação para o fator de desconto de forma consistente na soma da série (PV_{retornos} = R\20.000 / 0,10 = R$200.000$, então$VPL = R$200.000 - R$100.000 = R$100.000$). **Armadilha da banca:** O distrator mais tentador, pois muitos alunos aplicariam a fórmula direta da perpetuidade sem considerar a implicação da aproximação dada para o fator de desconto. A aproximação$1/1.1 \approx 0.9$ é dada para ser usada na base da série geométrica, e não apenas como uma informação solta.

• (C) Incorreta: Esta alternativa seria o resultado se os pagamentos fossem uma perpetuidade antecipada (no início de cada período, começando em t=0) e a taxa exata fosse usada: $PV_{antecipada} = (PMT/i) \times (1+i) = (R$20.000/0,10) \times 1,1 = R200.000 \times 1,1 = R\220.000$. Então,$VPL = R$220.000 - R$100.000 = R$120.000$.

• (D) Incorreta: Não há uma lógica financeira direta que leve a este valor com os dados fornecidos.

• (E) Incorreta: Este valor corresponde apenas ao Valor Presente dos Retornos (R\180.000), sem subtrair o investimento inicial de R\100.000 para obter o VPL.