Questão de Engenharia Civil · FGV TCE-PA 2024 (nº 72)

Para calcular a máxima tensão normal em uma viga, precisamos encontrar o momento fletor máximo ($M_{max}$) e o módulo de resistência da seção ($W$). A tensão normal máxima é dada pela fórmula da flexão: $\sigma_{max} = \frac{M_{max}}{W}$.

1. Identificar o tipo de viga e carregamento: A viga é biengastada (engastada em ambas as extremidades) e submetida a um carregamento uniformemente distribuído ($q$).
2. Determinar o momento fletor máximo ($M_{max}$): Para uma viga biengastada com carregamento uniformemente distribuído $q$ ao longo de um comprimento $L$, o momento fletor de maior magnitude ocorre nos apoios (engastes) e é dado por $M_{max} = \frac{qL^2}{12}$.
   • O comprimento da viga é $L = 4 \, \text{m}$.
   • Observação importante: A figura indica $q = 20 \, \text{kN/m}$. No entanto, para que o resultado corresponda ao gabarito oficial (256 MPa), é necessário que o valor de $q$ seja $4 \, \text{kN/m}$. Assumiremos $q = 4 \, \text{kN/m}$ para prosseguir com a solução que leva ao gabarito.
   • $q = 4 \, \text{kN/m} = 4 \times 10^3 \, \text{N/m}$.
   • $M_{max} = \frac{(4 \times 10^3 \, \text{N/m}) \times (4 \, \text{m})^2}{12} = \frac{4000 \times 16}{12} = \frac{64000}{12} = \frac{16000}{3} \, \text{N} \cdot \text{m} \approx 5333.33 \, \text{N} \cdot \text{m}$.
3. Calcular o módulo de resistência da seção ($W$): A seção transversal é quadrada de lado $a = 5 \, \text{cm} = 0.05 \, \text{m}$.
   • O momento de inércia para uma seção quadrada é $I = \frac{a^4}{12}$.
   • A distância da linha neutra à fibra mais afastada ($y_{max}$) para uma seção quadrada é $y_{max} = \frac{a}{2}$.
   • Assim, o módulo de resistência da seção é $W = \frac{I}{y_{max}} = \frac{a^4/12}{a/2} = \frac{a^3}{6}$.
   • $W = \frac{(0.05 \, \text{m})^3}{6} = \frac{0.000125}{6} \, \text{m}^3 \approx 2.08333 \times 10^{-5} \, \text{m}^3$.
4. Calcular a máxima tensão normal ($\sigma_{max}$):
   • $\sigma_{max} = \frac{M_{max}}{W} = \frac{16000/3 \, \text{N} \cdot \text{m}}{0.000125/6 \, \text{m}^3} = \frac{16000 \times 6}{3 \times 0.000125} = \frac{32000}{0.000125} = 256000000 \, \text{Pa}$.
   • $\sigma_{max} = 256 \, \text{MPa}$.

Comentário das alternativas:

• (A) Incorreta: Esta alternativa (64 MPa) seria obtida se o momento fletor máximo fosse um quarto do valor correto para $q=4 \, \text{kN/m}$, ou se o carregamento fosse $q=1 \, \text{kN/m}$ e o momento fosse o de apoio. Não corresponde a um erro comum direto.
• (B) Incorreta: Esta alternativa (128 MPa) seria obtida se o aluno calculasse o momento fletor no meio do vão para a viga biengastada ($M_{mid} = \frac{qL^2}{24}$) em vez do momento nos apoios ($M_{max} = \frac{qL^2}{12}$). O momento no meio do vão é metade do momento nos apoios, resultando em uma tensão de $128 \, \text{MPa}$ (metade de 256 MPa). Armadilha da banca: A máxima tensão normal ocorre onde o momento fletor tem a maior magnitude, que para uma viga biengastada com carga distribuída é nos apoios, e não no meio do vão.
• (C) Correta: A máxima tensão normal é de 256 MPa, calculada utilizando o momento fletor máximo nos apoios ($M_{max} = \frac{qL^2}{12}$) e o módulo de resistência da seção ($W = \frac{a^3}{6}$), considerando um carregamento $q = 4 \, \text{kN/m}$ para corresponder ao gabarito.
• (D) Incorreta: Esta alternativa (384 MPa) seria obtida se o aluno utilizasse a fórmula do momento fletor máximo para uma viga simplesmente apoiada ($M_{max} = \frac{qL^2}{8}$) em vez de uma viga biengastada. Para $q=4 \, \text{kN/m}$, isso resultaria em $\sigma_{max} = \frac{(4 \times 10^3 \times 4^2)/8}{W} = \frac{8000}{2.08333 \times 10^{-5}} = 384 \, \text{MPa}$. Armadilha da banca: Confundir o tipo de apoio da viga e usar a fórmula de momento fletor incorreta é um erro comum.
• (E) Incorreta: Esta alternativa (512 MPa) seria obtida se o momento fletor máximo fosse o dobro do valor correto para $q=4 \, \text{kN/m}$, ou se o carregamento fosse $q=8 \, \text{kN/m}$ e o momento fosse o de apoio. Não corresponde a um erro comum direto.