Questão de Engenharia Civil · FGV TCE-PA 2024 (nº 73)

Sistemas estaticamente indeterminados são estruturas onde as equações de equilíbrio da estática (soma de forças e momentos igual a zero) não são suficientes para determinar todas as forças internas. Para resolvê-los, é preciso usar equações adicionais baseadas na compatibilidade das deformações, ou seja, como as partes da estrutura se movem ou se deformam juntas. Neste caso, as barras estão ligadas rigidamente, então suas deformações (alongamentos) devem ser iguais.

Cálculo detalhado com os dados fornecidos:
Dados:

• Aço: $L_{ac} = 1.5 \, \text{m}$, $A_{ac} = (0.01 \, \text{m})^2 = 10^{-4} \, \text{m}^2$, $E_{ac} = 200 \, \text{GPa} = 200 \times 10^9 \, \text{Pa}$
• Cobre: $L_{co} = 1.0 \, \text{m}$, $A_{co} = (0.01 \, \text{m})^2 = 10^{-4} \, \text{m}^2$, $E_{co} = 100 \, \text{GPa} = 100 \times 10^9 \, \text{Pa}$
• Carga aplicada: P = 25 \, \text{kN} = 25 \times 10^3 \, \text{N}\

1. Equilíbrio: A soma das forças nas barras deve ser igual à carga aplicada.
   $F_{ac} + F_{co} = P = 25 \times 10^3 \, \text{N}$ (Eq. 1)

2. Compatibilidade das Deformações: As barras estão rigidamente conectadas, então seus alongamentos devem ser iguais.
   $\Delta L_{ac} = \Delta L_{co}$
   Usando a fórmula de deformação axial $\Delta L = \frac{F L}{A E}$:
   $\frac{F_{ac} L_{ac}}{A_{ac} E_{ac}} = \frac{F_{co} L_{co}}{A_{co} E_{co}}$
   Como as áreas $A_{ac}$ e $A_{co}$ são iguais ($10^{-4} \, \text{m}^2$), elas se cancelam:
   $\frac{F_{ac} L_{ac}}{E_{ac}} = \frac{F_{co} L_{co}}{E_{co}}$
   Substituindo os valores:
   $\frac{F_{ac} (1.5)}{200 \times 10^9} = \frac{F_{co} (1.0)}{100 \times 10^9}$
   $\frac{1.5 F_{ac}}{200} = \frac{1.0 F_{co}}{100} \implies \frac{1.5 F_{ac}}{2} = F_{co} \implies F_{ac} = \frac{2}{1.5} F_{co} = \frac{4}{3} F_{co}$ (Eq. 2)

3. Resolução do Sistema: Substitua Eq. 2 na Eq. 1:
   $\frac{4}{3} F_{co} + F_{co} = 25 \times 10^3$
   $\left( \frac{4}{3} + 1 \right) F_{co} = 25 \times 10^3$
   $\frac{7}{3} F_{co} = 25 \times 10^3$
   F_{co} = \frac{3 \times 25 \times 10^3}{7} = \frac{75}{7} \times 10^3 \, \text{N} \

4. Cálculo da Tensão Normal na Barra de Cobre:
   $\sigma_{co} = \frac{F_{co}}{A_{co}} = \frac{\frac{75}{7} \times 10^3 \, \text{N}}{10^{-4} \, \text{m}^2} = \frac{75}{7} \times 10^7 \, \text{Pa} = \frac{750}{7} \, \text{MPa} \approx 107.14 \, \text{MPa}$

Com base nos dados fornecidos, a tensão na barra de cobre é de aproximadamente 107.14 MPa. No entanto, o gabarito oficial indica 100 MPa. Isso sugere uma pequena discrepância nos valores do problema ou uma intenção de que o valor mais próximo seja escolhido. Para que o resultado fosse exatamente 100 MPa, a carga aplicada P deveria ser $\frac{70}{3} \, \text{kN} \approx 23.33 \, \text{kN}$ em vez de 25 kN.

(A) Incorreta: 50 MPa não corresponde ao valor calculado (107.14 MPa) nem ao gabarito (100 MPa).
(B) Incorreta: 75 MPa não corresponde ao valor calculado (107.14 MPa) nem ao gabarito (100 MPa).
(C) Correta: Embora o cálculo exato com os dados fornecidos resulte em aproximadamente 107.14 MPa, 100 MPa é a alternativa mais próxima e é o gabarito oficial. Se a carga aplicada fosse $P = \frac{70}{3} \, \text{kN}$ (aproximadamente 23.33 kN) em vez de 25 kN, a força no cobre seria $F_{co} = \frac{3}{7} \times \frac{70}{3} \times 10^3 = 10 \times 10^3 \, \text{N}$, e a tensão seria $\sigma_{co} = \frac{10 \times 10^3 \, \text{N}}{10^{-4} \, \text{m}^2} = 100 \times 10^6 \, \text{Pa} = 100 \, \text{MPa}$. A armadilha da banca pode ser a necessidade de escolher a alternativa mais próxima ou uma pequena imprecisão nos dados do problema que levam ao gabarito.
(D) Incorreta: 150 MPa não corresponde ao valor calculado (107.14 MPa) nem ao gabarito (100 MPa).
(E) Incorreta: 200 MPa não corresponde ao valor calculado (107.14 MPa) nem ao gabarito (100 MPa).