Questão de Engenharia Civil · FGV TCE-PA 2024 (nº 77)

Para que uma barragem de gravidade (que usa seu próprio peso para se manter estável) não sofra esforços de tração (tensões que "puxam" o material, o que é prejudicial para o concreto), a força resultante de todas as cargas (peso da barragem e pressão da água) deve cair dentro do núcleo central de inércia (ou terço médio) da base da barragem. Isso significa que a excentricidade (distância do centro da base até o ponto onde a resultante atua) não pode ser maior que um sexto da largura da base ($e \le B/6$).

Cálculos Detalhados:

1. Forças por metro de comprimento da barragem:

   • Peso da barragem (W): A barragem tem seção retangular. $W = \text{peso específico do concreto} \times \text{altura} \times \text{largura da base}$.
     $W = 2400 \text{ kgf/m}^3 \times 1.50 \text{ m} \times B \text{ m} = 3600B \text{ kgf/m}$.
     O peso atua no centro da base, a $B/2$ da face de montante (onde a água está) ou jusante (oposta à água).
   • Empuxo horizontal da água (H): A pressão da água é triangular, máxima na base e zero no nível da água. O empuxo total é a área desse triângulo de pressão.
     $H = \frac{1}{2} \times \text{peso específico da água} \times \text{altura da água}^2$.
     $H = \frac{1}{2} \times 1000 \text{ kgf/m}^3 \times (1.50 \text{ m})^2 = \frac{1}{2} \times 1000 \times 2.25 = 1125 \text{ kgf/m}$.
     O empuxo atua no centro de gravidade do triângulo de pressão, que é a $1/3$da altura da água a partir da base. Altura de aplicação de H =$1.50 \text{ m} / 3 = 0.50 \text{ m}$.

2. Condição de não tração (regra do terço médio):
   Para não haver tração, a excentricidade ($e$) da força resultante em relação ao centro da base deve ser menor ou igual a $B/6$.
   A excentricidade é calculada como o momento da força horizontal (que tende a tombar) em relação ao centro da base, dividido pela força vertical resultante (o peso da barragem).

   • Momento devido ao empuxo horizontal ($M_H$) em relação ao centro da base:
     $M_H = H \times (\text{altura de aplicação}) = 1125 \text{ kgf/m} \times 0.50 \text{ m} = 562.5 \text{ kgf.m/m}$.
   • Força vertical resultante ($R_V$): É o peso da barragem, $W = 3600B \text{ kgf/m}$.
   • Excentricidade ($e$): $e = M_H / R_V = 562.5 / (3600B)$.

3. Aplicando a condição para encontrar a largura mínima (B):
   $e \le B/6$
   $562.5 / (3600B) \le B/6$
   Para encontrar o valor mínimo de $B$, usamos a igualdade:
   $562.5 / (3600B) = B/6$Multiplicando ambos os lados por$6 \times 3600B$:$562.5 \times 6 = 3600B^2$$3375 = 3600B^2$$B^2 = 3375 / 3600$$B^2 = 0.9375$

4. Cálculo da espessura mínima (B):
   $B = \sqrt{0.9375}$
   Calculando o valor: $B \approx 0.9682 \text{ m}$.
   Convertendo para centímetros: $0.9682 \text{ m} \times 100 \text{ cm/m} = 96.82 \text{ cm}$.
   O valor mínimo aproximado é 97 cm. As raízes fornecidas ($\sqrt{2}=1.4$, $\sqrt{3}=1.7$, $\sqrt{5}=2.2$) podem ser usadas para uma verificação aproximada de $\sqrt{15} = \sqrt{3 \times 5} \approx 1.7 \times 2.2 = 3.74$, o que daria $B \approx 3.74/4 = 0.935$ m, mas a precisão da resposta exige o cálculo direto ou uma aproximação mais precisa de $\sqrt{15}$.

• (A) Correta: O cálculo da espessura mínima para que não haja tração na base da barragem, utilizando a regra do terço médio ($e \le B/6$), resulta em $B \approx 96.82 \text{ cm}$, que se arredonda para 97 cm.
• (B) Incorreta: Este valor é maior que o mínimo necessário e não corresponde a nenhum erro comum de cálculo.
• (C) Incorreta: Este valor é maior que o mínimo necessário e não corresponde a nenhum erro comum de cálculo.
• (D) Incorreta: Este valor seria obtido se a altura de aplicação do empuxo horizontal da água fosse considerada como $h/2$ (centro de uma área retangular) em vez de $h/3$ (centro de uma área triangular), o que é um erro comum na distribuição de pressão hidrostática.
• (E) Incorreta: Este valor é significativamente maior que o mínimo necessário e não corresponde a nenhum erro comum de cálculo.