Questão de Engenharia Civil · FGV TCE-PA 2024 (nº 69)

Quando um objeto flutua em um líquido, ele não afunda nem sobe, permanecendo em uma posição estável. Isso acontece porque o peso do objeto é exatamente igual à força que o líquido exerce para cima sobre a parte submersa do objeto, chamada de empuxo. Para que o equilíbrio seja estável, o objeto deve tender a retornar à sua posição original se for ligeiramente perturbado.

Para resolver a questão, primeiro calculamos a profundidade submersa ($z$) usando o princípio da flutuação:

1. Peso do bloco (W): É o volume total do bloco multiplicado pelo seu peso específico.
   • Volume do bloco ($V_{bloco}$) = lado × lado × altura = (20 cm × 20 cm × 15 cm) = (0.2 m × 0.2 m × 0.15 m) = 0.006 m³.
   • Peso do bloco ($W$) = Peso específico da madeira × $V_{bloco}$ = 800 kgf/m³ × 0.006 m³ = 4.8 kgf.
2. Empuxo (E): É o volume da parte submersa do bloco multiplicado pelo peso específico da água.
   • Volume submerso ($V_{submerso}$) = lado × lado × $z$ = (0.2 m × 0.2 m × $z$) = 0.04$z$ m³.
   • Empuxo ($E$) = Peso específico da água × $V_{submerso}$ = 1000 kgf/m³ × 0.04$z$ m³ = 40$z$ kgf.
3. Equilíbrio: $W = E$
   • 4.8 kgf = 40$z$ kgf
   • $z = 4.8 / 40 = 0.12$ m = 12 cm.

Para verificar a estabilidade, precisamos calcular a altura metacêntrica ($GM$). Para um corpo flutuante, o equilíbrio é estável se $GM > 0$.

• Centro de gravidade (G) do bloco homogêneo está na metade da altura total: $H/2 = 15 \text{ cm} / 2 = 7.5 \text{ cm}$ da base.
• Centro de empuxo (B) está na metade da altura submersa: $z/2 = 12 \text{ cm} / 2 = 6 \text{ cm}$ da base.
• Distância entre B e G ($BG$) = $G - B = 7.5 \text{ cm} - 6 \text{ cm} = 1.5 \text{ cm} = 0.015 \text{ m}$.
• Momento de inércia da área da linha d'água ($I$) para uma base quadrada de lado $L$: $I = \frac{L^4}{12} = \frac{(0.2 \text{ m})^4}{12} = \frac{0.0016}{12} \approx 0.0001333 \text{ m}^4$.
• Distância $BM = I / V_{submerso} = 0.0001333 \text{ m}^4 / (0.04 \times 0.12 \text{ m}^3) = 0.0001333 / 0.0048 \approx 0.02777 \text{ m}$.
• Altura metacêntrica ($GM$) = $BM - BG = 0.02777 \text{ m} - 0.015 \text{ m} = 0.01277 \text{ m}$.
  Como $GM > 0$, o equilíbrio é estável.

(A) Correta: O cálculo da profundidade submersa $z$ resulta em 12 cm. Além disso, a análise da altura metacêntrica ($GM > 0$) confirma que o equilíbrio é estável.
(B) Incorreta: O valor de $z = 10$ cm está incorreto, pois a proporção entre os pesos específicos (800/1000 = 0.8) indica que 80% da altura do bloco deve estar submersa (0.8 * 15 cm = 12 cm).
(C) Incorreta: O valor de $z = 8$ cm está incorreto, conforme a explicação acima.
(D) Incorreta: O valor de $z = 6$ cm está incorreto, conforme a explicação acima.
(E) Incorreta: O bloco flutuará em equilíbrio estável, como demonstrado pelo cálculo da altura metacêntrica ($GM > 0$).