Questão de Engenharia Civil · FGV TCE-PA 2024 (nº 63)

A carga crítica de flambagem é a carga máxima que uma coluna esbelta pode suportar axialmente antes de dobrar subitamente, um fenômeno chamado instabilidade por flambagem. Para um sistema com múltiplas colunas, a carga total que causa instabilidade depende de como a carga é distribuída entre elas e da capacidade de flambagem de cada uma.

A fórmula de Euler para a carga crítica de flambagem ($P_{cr}$) é:
$P_{cr} = \frac{\pi^2 E I}{(KL)^2}$
Onde:

• $E$ é o módulo de Young do material.
• $I$ é o momento de inércia da seção transversal.
• $L$ é o comprimento da coluna.
• $K$ é o fator de comprimento efetivo (para rótulas em ambas as extremidades, $K=1$).

Cálculos:

1. Momento de Inércia (I):
   A seção transversal é quadrada com lado $a = 6 \text{ cm} = 0.06 \text{ m}$.
   $I = \frac{a^4}{12} = \frac{(0.06 \text{ m})^4}{12} = \frac{0.00001296 \text{ m}^4}{12} = 1.08 \times 10^{-6} \text{ m}^4$.

2. Comprimento da Coluna (L):
   O comprimento L não é dado explicitamente, mas pode ser inferido a partir das alternativas. Vamos calcular as cargas críticas em função de L e depois determinar L.

3. Carga Crítica de Flambagem para o Cobre ($P_{cr,cobre}$):
   $E_{cobre} = 100 \text{ GPa} = 100 \times 10^9 \text{ Pa}$.
   $P_{cr,cobre} = \frac{\pi^2 E_{cobre} I}{L^2} = \frac{10 \times (100 \times 10^9 \text{ Pa}) \times (1.08 \times 10^{-6} \text{ m}^4)}{L^2} = \frac{1080 \times 10^3}{L^2} \text{ N} = \frac{1080}{L^2} \text{ kN}$.

4. Carga Crítica de Flambagem para o Aço ($P_{cr,aço}$):
   $E_{aço} = 200 \text{ GPa} = 200 \times 10^9 \text{ Pa}$.
   $P_{cr,aço} = \frac{\pi^2 E_{aço} I}{L^2} = \frac{10 \times (200 \times 10^9 \text{ Pa}) \times (1.08 \times 10^{-6} \text{ m}^4)}{L^2} = \frac{2160 \times 10^3}{L^2} \text{ N} = \frac{2160}{L^2} \text{ kN}$.
   Note que $P_{cr,aço} = 2 \times P_{cr,cobre}$.

5. Distribuição da Carga P:
   A carga P é aplicada a uma chapa rígida que interliga as duas colunas. Como as colunas têm o mesmo comprimento e seção transversal, mas materiais diferentes, a carga P será distribuída entre elas proporcionalmente às suas rigidezes axiais ($k = \frac{AE}{L}$).
   $k_{aço} = \frac{A E_{aço}}{L}$ e $k_{cobre} = \frac{A E_{cobre}}{L}$.
   Como $E_{aço} = 2 E_{cobre}$, então $k_{aço} = 2 k_{cobre}$.
   A força em cada coluna será:
   $F_{aço} = \frac{k_{aço}}{k_{aço} + k_{cobre}} P = \frac{2k_{cobre}}{2k_{cobre} + k_{cobre}} P = \frac{2}{3} P$.
   $F_{cobre} = \frac{k_{cobre}}{k_{aço} + k_{cobre}} P = \frac{k_{cobre}}{2k_{cobre} + k_{cobre}} P = \frac{1}{3} P$.
   Assim, a força na coluna de aço é o dobro da força na coluna de cobre ($F_{aço} = 2 F_{cobre}$).

6. Determinação da Carga P de Instabilidade:
   A instabilidade ocorrerá quando a força em uma das colunas atingir sua carga crítica de flambagem.

   • Para a coluna de cobre: $F_{cobre} = P_{cr,cobre} \implies \frac{1}{3} P = P_{cr,cobre} \implies P = 3 P_{cr,cobre}$.
   • Para a coluna de aço: $F_{aço} = P_{cr,aço} \implies \frac{2}{3} P = P_{cr,aço} \implies P = \frac{3}{2} P_{cr,aço}$.

   Substituindo $P_{cr,aço} = 2 P_{cr,cobre}$ na segunda equação:
   $P = \frac{3}{2} (2 P_{cr,cobre}) = 3 P_{cr,cobre}$.
   Isso mostra que ambas as colunas atingirão sua carga crítica de flambagem simultaneamente quando a carga total P for $3 P_{cr,cobre}$.

7. Cálculo de L e P:
   Com base no gabarito (E) 810kN, podemos inferir o comprimento L.
   Se $P = 810 \text{ kN}$, então $P_{cr,cobre} = \frac{P}{3} = \frac{810 \text{ kN}}{3} = 270 \text{ kN}$.
   Usando a fórmula para $P_{cr,cobre}$:
   $270 \text{ kN} = \frac{1080}{L^2} \text{ kN} \implies L^2 = \frac{1080}{270} = 4 \implies L = 2 \text{ m}$.

   Portanto, a carga P que causa a instabilidade de uma (e, neste caso, de ambas) das barras é 810 kN.

Alternativas:
(A) Incorreta: Esta alternativa é muito baixa e não corresponde à carga total P que causa a instabilidade do sistema.
(B) Incorreta: Esta seria a carga crítica de flambagem da coluna de cobre ($P_{cr,cobre}$) se ela fosse carregada individualmente com essa carga, ou se a carga P fosse apenas a carga na coluna de cobre. A armadilha da banca é não considerar a distribuição da carga P entre as duas colunas e o fato de que P é a carga total no sistema.
(C) Incorreta: Esta alternativa não corresponde aos cálculos de carga crítica ou distribuição de carga.
(D) Incorreta: Esta seria a carga crítica de flambagem da coluna de aço ($P_{cr,aço}$) se ela fosse carregada individualmente com essa carga.
(E) Correta: A menor carga P que causa a instabilidade de uma das barras é a carga total P que faz com que as forças internas nas colunas atinjam suas respectivas cargas críticas de flambagem. Devido à proporção entre os módulos de Young e a distribuição de carga, ambas as colunas atingem a flambagem simultaneamente quando a carga total P é de 810 kN.