Questão de Ciência de Dados · FGV TCE-PA 2024 (nº 86)

A Decomposição em Valores Singulares (SVD) é uma técnica que "quebra" uma matriz complexa em três matrizes mais simples ($U$, $\Sigma$, $V^T$), revelando as direções principais (vetores de $U$ e $V$) e a "força" ou "importância" dessas direções (valores singulares em $\Sigma$) nos dados.

Para a matriz $A = \begin{bmatrix} 2 & 2 \ 3 & 3 \end{bmatrix}$:

1. Cálculo dos Valores Singulares ($\Sigma$):
   Primeiro, calculamos $A^T A$:
   $A^T A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \ 2 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 2 \ 3 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4+9 & 4+9 \ 4+9 & 4+9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 13 & 13 \ 13 & 13 \end{bmatrix}$
   Em seguida, encontramos os autovalores de $A^T A$:
   $\det(A^T A - \lambda I) = \det \begin{bmatrix} 13-\lambda & 13 \ 13 & 13-\lambda \end{bmatrix} = (13-\lambda)^2 - 13^2 = 0$
   $169 - 26\lambda + \lambda^2 - 169 = 0 \implies \lambda^2 - 26\lambda = 0 \implies \lambda(\lambda - 26) = 0$
   Os autovalores são $\lambda_1 = 26$ e $\lambda_2 = 0$.
   Os valores singulares são as raízes quadradas dos autovalores: $\sigma_1 = \sqrt{26}$ e $\sigma_2 = \sqrt{0} = 0$.
   Portanto, a matriz $\Sigma$ é $\begin{bmatrix} \sqrt{26} & 0 \ 0 & 0 \end{bmatrix}$.

2. Cálculo dos Vetores Singulares à Esquerda ($U$):
   Os vetores de $U$ são os autovetores de $A A^T$.
   $A A^T = \begin{bmatrix} 2 & 2 \ 3 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 3 \ 2 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4+4 & 6+6 \ 6+6 & 9+9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 & 12 \ 12 & 18 \end{bmatrix}$
   Os autovalores de $A A^T$ são os mesmos de $A^T A$, ou seja, $\lambda_1 = 26$ e $\lambda_2 = 0$.
   Para $\lambda_1 = 26$:
   $(A A^T - 26I) \mathbf{u}_1 = \mathbf{0} \implies \begin{bmatrix} 8-26 & 12 \ 12 & 18-26 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_{11} \ u_{12} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -18 & 12 \ 12 & -8 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_{11} \ u_{12} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \ 0 \end{bmatrix}$
   $-18u_{11} + 12u_{12} = 0 \implies 3u_{11} = 2u_{12}$. Podemos escolher $u_{11}=2, u_{12}=3$.
   Normalizando: $\mathbf{u}_1 = \frac{1}{\sqrt{2^2+3^2}} \begin{bmatrix} 2 \ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2/\sqrt{13} \ 3/\sqrt{13} \end{bmatrix}$.

3. Cálculo dos Vetores Singulares à Direita ($V$):
   Os vetores de $V$ são os autovetores de $A^T A$.
   Para $\lambda_1 = 26$:
   $(A^T A - 26I) \mathbf{v}_1 = \mathbf{0} \implies \begin{bmatrix} 13-26 & 13 \ 13 & 13-26 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_{11} \ v_{12} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -13 & 13 \ 13 & -13 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_{11} \ v_{12} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \ 0 \end{bmatrix}$
   $-13v_{11} + 13v_{12} = 0 \implies v_{11} = v_{12}$. Podemos escolher $v_{11}=1, v_{12}=1$.
   Normalizando: $\mathbf{v}_1 = \frac{1}{\sqrt{1^2+1^2}} \begin{bmatrix} 1 \ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1/\sqrt{2} \ 1/\sqrt{2} \end{bmatrix}$.

Análise das afirmativas:

• (F) Os elementos da diagonal principal de $\Sigma$ são $\sqrt{26}$ e $\sqrt{6}$.
  Incorreta: Conforme calculado, os elementos da diagonal principal de $\Sigma$ são $\sqrt{26}$ e $0$. A matriz$A$ tem posto 1, o que significa que apenas um valor singular é não nulo.

• (V) Os elementos da primeira coluna da matriz $U$ podem ser dados por $\frac{2}{\sqrt{13}}$ e $\frac{3}{\sqrt{13}}$.

• (F) Os elementos da primeira coluna da matriz $V$ podem ser dados por $-\frac{3}{\sqrt{13}}$ e $\frac{2}{\sqrt{13}}$.
  Incorreta: A primeira coluna de $V$ é o autovetor normalizado de $A^T A$ correspondente ao maior autovalor ($\lambda_1 = 26$), que calculamos como $\begin{bmatrix} 1/\sqrt{2} \ 1/\sqrt{2} \end{bmatrix}$. O vetor fornecido é um dos possíveis vetores da segunda coluna de $U$ (ou seu negativo), mas não da primeira coluna de $V$. Armadilha: A banca tenta confundir os vetores de $U$ com os de $V$, e também a ordem das colunas ou os sinais.

A sequência correta é F – V – F.

A) Incorreta: A primeira afirmativa é falsa.
B) Incorreta: A primeira afirmativa é falsa.
C) Incorreta: A terceira afirmativa é falsa.
D) Incorreta: A segunda afirmativa é verdadeira.
(E) Correta: A sequência F – V – F corresponde exatamente à avaliação das afirmativas.