Questão de Ciência de Dados · FGV TCE-PA 2024 (nº 62)

A função de densidade de probabilidade (FDP), ou PDF, descreve a probabilidade relativa de uma variável aleatória contínua assumir um determinado valor; para encontrar a probabilidade de a variável cair em um intervalo, integramos a FDP sobre esse intervalo.

Cálculo:
A função é $p(x) = 1 - |x|$ para $|x| < 1$ e $p(x) = 0$ caso contrário.
Isso significa que $p(x)$ é não nula apenas no intervalo $(-1, 1)$.
Queremos calcular $P(-3.0 < x < 0.8)$.
Como $p(x) = 0$ para $x \le -1$, a integral efetiva começa em $-1$.
Assim, $P(-3.0 < x < 0.8) = \int_{-1}^{0.8} p(x) dx$.
A função $p(x)$ se divide em duas partes:

• Para $-1 < x < 0$, $|x| = -x$, então $p(x) = 1 - (-x) = 1 + x$.
• Para $0 \le x < 0.8$, $|x| = x$, então $p(x) = 1 - x$.

Dividimos a integral:
\int_{-1}^{0.8} p(x) dx = \int_{-1}^{0} (1+x) dx + \int_{0}^{0.8} (1-x) dx\

1. Primeira integral:
   $\int_{-1}^{0} (1+x) dx = [x + \frac{x^2}{2}]_{-1}^{0} = (0 + 0) - (-1 + \frac{(-1)^2}{2}) = 0 - (-1 + \frac{1}{2}) = -(-\frac{1}{2}) = 0.5$.

2. Segunda integral:
   $\int_{0}^{0.8} (1-x) dx = [x - \frac{x^2}{2}]_{0}^{0.8} = (0.8 - \frac{(0.8)^2}{2}) - (0 - 0) = 0.8 - \frac{0.64}{2} = 0.8 - 0.32 = 0.48$.

3. Soma das integrais:
   Probabilidade total $= 0.5 + 0.48 = 0.98$.

(A) Incorreta: Esta alternativa (0,96) é obtida se o aluno, por engano, integrar de $-0.8$ a $0.8$(ou seja,$P(-0.8 < x < 0.8)$), em vez de$-1 a \0.8$. A armadilha da banca é usar um limite inferior de$-3.0$que, por ser menor que$-1, pode levar o aluno a pensar em simetria com o limite superior de \0.8$, ignorando que a função é nula para$x < -1$. **(B) Correta:** A probabilidade é a soma das integrais de$p(x)$nos intervalos$[-1, 0]$e$[0, 0.8], resultando em \0.5 + 0.48 = 0.98$.
(C) Incorreta: O valor de 0,99 não corresponde ao cálculo correto da integral.
(D) Incorreta: O valor de 0,92 não corresponde ao cálculo correto da integral.
(E) Incorreta: O valor de 0,04 não corresponde ao cálculo correto da integral; seria o complemento de 0,96, que já é um valor incorreto.