Questão de Ciência de Dados · FGV TCE-PA 2024 (nº 64)

A probabilidade condicional nos permite atualizar nossas crenças sobre a chance de um evento (como qual caixa foi escolhida) à medida que novas informações (a cor das bolinhas retiradas) se tornam disponíveis. O Teorema de Bayes é a fórmula que usamos para fazer essa atualização, combinando nossa crença inicial (probabilidade a priori) com a probabilidade de observar a nova informação em cada cenário possível (verossimilhança).

Vamos definir os eventos:

• $A$: A caixa escolhida é a Caixa A.
• $B$: A caixa escolhida é a Caixa B.
• $V_1$: A primeira bolinha retirada é verde.
• $V_2$: A segunda bolinha retirada é verde.

Conteúdo das caixas:

• Caixa A: 2 bolinhas verdes (V), 2 bolinhas cor-de-rosa (R). Total: 4 bolinhas.
• Caixa B: 4 bolinhas verdes (V). Total: 4 bolinhas.

Passo 1: Escolha aleatória da caixa.
Como as caixas são idênticas e a escolha é aleatória:
$P(A) = 1/2$
$P(B) = 1/2$
Probabilidades após o Passo 1: $\{1/2, 1/2\}$

Passo 2: Retirada da primeira bolinha (verde).
Precisamos calcular $P(A | V_1)$ e $P(B | V_1)$ usando o Teorema de Bayes.

• Probabilidades a priori (do Passo 1):
  $P(A) = 1/2$
  $P(B) = 1/2$

• Verossimilhanças (probabilidade de $V_1$ dada a caixa):
  $P(V_1 | A) = \text{Probabilidade de tirar verde da Caixa A} = 2/4 = 1/2$
  $P(V_1 | B) = \text{Probabilidade de tirar verde da Caixa B} = 4/4 = 1$

• Probabilidade da evidência ($V_1$):
  $P(V_1) = P(V_1 | A)P(A) + P(V_1 | B)P(B)$
  $P(V_1) = (1/2)(1/2) + (1)(1/2) = 1/4 + 1/2 = 3/4$

• Probabilidades a posteriori (após $V_1$):
  $P(A | V_1) = \frac{P(V_1 | A)P(A)}{P(V_1)} = \frac{(1/2)(1/2)}{3/4} = \frac{1/4}{3/4} = 1/3$
  $P(B | V_1) = \frac{P(V_1 | B)P(B)}{P(V_1)} = \frac{(1)(1/2)}{3/4} = \frac{1/2}{3/4} = 2/3$
  Probabilidades após o Passo 2: $\{1/3, 2/3\}$

Passo 3: Retirada da segunda bolinha (verde), sem reposição.
Precisamos calcular $P(A | V_1, V_2)$ e $P(B | V_1, V_2)$.

• Novas probabilidades a priori (do Passo 2):
  $P(A | V_1) = 1/3$
  $P(B | V_1) = 2/3$

• Novas verossimilhanças (probabilidade de $V_2$ dada a caixa e que $V_1$ já ocorreu):

  • Se a caixa for A, e uma bolinha verde já foi retirada, a Caixa A agora tem 1V e 2R (total de 3 bolinhas).
    $P(V_2 | A, V_1) = 1/3$
  • Se a caixa for B, e uma bolinha verde já foi retirada, a Caixa B agora tem 3V (total de 3 bolinhas).
    $P(V_2 | B, V_1) = 3/3 = 1$

• Probabilidade da nova evidência ($V_2$ dado $V_1$):
  $P(V_2 | V_1) = P(V_2 | A, V_1)P(A | V_1) + P(V_2 | B, V_1)P(B | V_1)$
  $P(V_2 | V_1) = (1/3)(1/3) + (1)(2/3) = 1/9 + 2/3 = 1/9 + 6/9 = 7/9$

• Probabilidades a posteriori (após $V_1$ e $V_2$):
  $P(A | V_1, V_2) = \frac{P(V_2 | A, V_1)P(A | V_1)}{P(V_2 | V_1)} = \frac{(1/3)(1/3)}{7/9} = \frac{1/9}{7/9} = 1/7$
  $P(B | V_1, V_2) = \frac{P(V_2 | B, V_1)P(B | V_1)}{P(V_2 | V_1)} = \frac{(1)(2/3)}{7/9} = \frac{2/3}{7/9} = \frac{2}{3} \times \frac{9}{7} = \frac{18}{21} = 6/7$
  Probabilidades após o Passo 3: $\{1/7, 6/7\}$

A sequência completa é: $\{1/2, 1/2\}$, $\{1/3, 2/3\}$, $\{1/7, 6/7\}$.

(A) Incorreta: A última etapa $\{1/13, 12/13\}$ é resultado de um erro de cálculo na probabilidade a posteriori após a segunda bolinha verde, provavelmente na determinação do denominador (probabilidade total da evidência).
(B) Correta: Esta alternativa apresenta a sequência correta de probabilidades calculadas passo a passo, aplicando o Teorema de Bayes e considerando a retirada das bolinhas sem reposição.
(C) Incorreta: A segunda etapa $\{1/7, 6/7\}$ está incorreta, pois esses são os valores de probabilidade após a retirada de duas bolinhas verdes, não apenas uma. Houve uma aplicação prematura ou erro de cálculo na primeira atualização.
(D) Incorreta: A última etapa $\{1/5, 4/5\}$ é o resultado de uma pegadinha comum: assumir que a segunda bolinha foi retirada com reposição. Se a primeira bolinha verde fosse reposta, as probabilidades de tirar uma segunda bolinha verde seriam as mesmas da primeira ($P(V_2|A,V_1) = 2/4 = 1/2$ e $P(V_2|B,V_1) = 4/4 = 1$). Calculando com essa premissa errada, obteríamos $\{1/5, 4/5\}$ para a última etapa.
(E) Incorreta: As probabilidades da segunda e terceira etapas estão incorretas, indicando múltiplos erros de cálculo ou de interpretação do problema.