Questão de Ciência de Dados · FGV TCE-PA 2024 (nº 61)

A distribuição normal (ou gaussiana) é uma distribuição de probabilidade simétrica em forma de sino, comum em muitos fenômenos naturais. O Teorema Central do Limite (TCL) nos diz que a soma (ou média) de um grande número de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas se aproxima de uma distribuição normal, mesmo que as variáveis originais não sejam normais; se as variáveis já são normais, sua soma também será normal.

• (A) Incorreta: Este valor não corresponde aos cálculos corretos da probabilidade.
• (B) Incorreta: Este valor não corresponde aos cálculos corretos da probabilidade.
• (C) Correta: Para resolver, primeiro identificamos os parâmetros da soma das 9 amostras. Cada amostra $x_i$ tem média $\mu_x = 0$ e variância $\sigma_x^2 = 1$.
  1. Média da soma (S): A média da soma de $n$ variáveis independentes é a soma das médias individuais. $\mu_S = n \times \mu_x = 9 \times 0 = 0$.
  2. Variância da soma (S): A variância da soma de $n$ variáveis independentes é a soma das variâncias individuais. $\sigma_S^2 = n \times \sigma_x^2 = 9 \times 1 = 9$.
  3. Desvio padrão da soma (S): $\sigma_S = \sqrt{\sigma_S^2} = \sqrt{9} = 3$.
     Portanto, a soma $S$ segue uma distribuição normal com média 0 e desvio padrão 3 ($S \sim N(0, 3^2)$).
     Agora, precisamos calcular a probabilidade $P(S > 1,8)$. Para usar a tabela da distribuição normal padrão (Z), padronizamos o valor 1,8:
     $Z = \frac{S - \mu_S}{\sigma_S} = \frac{1,8 - 0}{3} = \frac{1,8}{3} = 0,6$.
     Queremos $P(Z > 0,6)$. A tabela fornece $P(X < V)$. Sabemos que $P(Z > z) = 1 - P(Z < z)$.
     Consultando a tabela para $V = 0,6$, encontramos $P(X < 0,6) = 0,7257$.
     Então, $P(Z > 0,6) = 1 - 0,7257 = 0,2743$. O valor mais próximo entre as opções é 0,27.
• (D) Incorreta: Este valor não corresponde aos cálculos corretos da probabilidade.
• (E) Incorreta: Esta alternativa é um distrator forte. Ela surgiria se o estudante esquecesse de calcular o desvio padrão da soma das 9 amostras e, em vez disso, usasse o desvio padrão de uma única amostra ($\sigma_x = 1$) para padronizar o valor. Nesse caso, o cálculo seria $Z = \frac{1,8 - 0}{1} = 1,8$. A probabilidade $P(Z > 1,8) = 1 - P(Z < 1,8) = 1 - 0,9641 = 0,0359$, que é aproximadamente 0,04. A armadilha aqui é não aplicar corretamente as propriedades da variância da soma de variáveis aleatórias independentes.