Questão de Ciência de Dados · FGV TCE-PA 2024 (nº 66)

O erro-padrão da média (ou desvio-padrão da distribuição amostral das médias) nos diz o quanto as médias de várias amostras (tiradas da mesma população) tendem a variar em relação à verdadeira média da população. Ele é calculado usando o desvio-padrão da população e o tamanho da amostra.

Para calcular o erro-padrão da média ($\sigma_{\bar{x}}$) quando a amostragem é sem reposição de uma população finita, usamos a fórmula:
$\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \times \sqrt{\frac{N-n}{N-1}}$
Onde:

• $\sigma$ é o desvio-padrão da população = 90 pontos
• $n$ é o tamanho da amostra = 100 notas
• $N$ é o tamanho da população = 5000 candidatos
• $\sqrt{\frac{N-n}{N-1}}$ é o fator de correção para população finita (FPCF).

Calculando:

1. Primeira parte: $\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{90}{\sqrt{100}} = \frac{90}{10} = 9$.
2. Fator de Correção para População Finita (FPCF): $\sqrt{\frac{5000-100}{5000-1}} = \sqrt{\frac{4900}{4999}} = \frac{\sqrt{4900}}{\sqrt{4999}} = \frac{70}{\sqrt{4999}}$.
   • O problema nos dá $\sqrt{4999} = 70,7$.
   • Então, FPCF $\approx \frac{70}{70,7} \approx 0,990099$.
   • O problema também nos dá $\frac{100}{101} = 0,99$. Este valor é uma aproximação muito próxima do FPCF calculado e é a pista para usarmos $0,99$ como o fator de correção.
3. Multiplicando: $\sigma_{\bar{x}} = 9 \times 0,99 = 8,91$.

A informação de que "40 novas amostras" foram retiradas é um distrator; o erro-padrão da média se refere à variabilidade de uma média amostral, não ao número de amostras que foram efetivamente tiradas.

(A) Correta: O cálculo do erro-padrão da média, considerando o fator de correção para população finita (FPCF) e usando a aproximação $0,99$para o FPCF (conforme sugerido pelos dados fornecidos), resulta em$9 \times 0,99 = 8,91$. **(B) Incorreta:** Este valor (9) seria o erro-padrão da média se o fator de correção para população finita fosse ignorado (o que é comum quando a amostragem é com reposição ou de uma população infinita, ou quando$n/N < 0,05$, mas os dados fornecidos indicam que o FPCF deve ser considerado). **(C) Incorreta:** Não corresponde a nenhuma fórmula ou cálculo padrão para o erro-padrão da média. **(D) Incorreta:** Este valor não representa o erro-padrão da média; parece ser o desvio-padrão da população multiplicado por um fator incorreto. **(E) Incorreta:** Este é o desvio-padrão da população original, não o erro-padrão da média das amostras. O erro-padrão da média é sempre menor que o desvio-padrão da população (para$n > 1$).