Questão de Raciocínio Lógico-Matemático · FGV SEFAZ-AM 2022 - Prova I (nº 13)

Para que o aluno FIXE o conceito, vamos entender o que significa "deixar para Pedro apenas um lugar que não tenha um de nós como vizinho". Isso quer dizer que, quando Pedro sentar, ambos os seus vizinhos (à direita e à esquerda) devem ser cadeiras vazias. Se um dos vizinhos for Abel, Daniel ou Rafael, aquele lugar não serve. A condição é que haja apenas um desses lugares "seguros" para Pedro.

Vamos chamar os três amigos (Abel, Daniel, Rafael) de Pessoas (P) e as cadeiras vazias de Vazias (V).
Temos 3 Pessoas (P) e $N-3$ cadeiras Vazias (V), onde N é o número total de cadeiras.

Um lugar "seguro" para Pedro é uma cadeira V que tem V como vizinho à direita e V como vizinho à esquerda. Ou seja, é uma cadeira V que faz parte de uma sequência VVV (Vazia-Vazia-Vazia). A cadeira do meio nessa sequência VVV é o lugar seguro para Pedro.

Para que haja apenas um lugar seguro para Pedro, precisamos que:

1. Exista exatamente um bloco de 3 cadeiras vazias consecutivas (VVV). A cadeira do meio desse bloco será o único lugar seguro.
2. Não pode haver blocos de 4 ou mais cadeiras vazias consecutivas (VVVV, VVVVV, etc.), pois um bloco de 4 cadeiras vazias (V1 V2 V3 V4) teria dois lugares seguros (V2 e V3), o que violaria a condição de "apenas um lugar".
3. Quaisquer outros blocos de cadeiras vazias devem ser de tamanho 1 (V) ou 2 (VV), pois esses tamanhos não oferecem lugares seguros para Pedro. (Um bloco VV, por exemplo, V1 V2, não tem uma cadeira do meio com dois vizinhos V).

Para maximizar o número total de cadeiras (N), precisamos maximizar o número de cadeiras vazias ($N-3$).
As 3 Pessoas (P) sentadas em uma mesa circular dividem as cadeiras vazias em 3 grupos (ou "lacunas"). Vamos chamar o número de cadeiras vazias em cada grupo de $e_1, e_2, e_3$.
Então, $e_1 + e_2 + e_3 = N-3$.

Para ter exatamente um lugar seguro:

• Um dos grupos de cadeiras vazias deve ter tamanho 3. Por exemplo, $e_1 = 3$. Isso cria 1 lugar seguro.
• Os outros dois grupos ($e_2$ e $e_3$) não podem criar lugares seguros e devem ser maximizados. Para não criar lugares seguros, eles devem ter tamanho 1 ou 2. Para maximizar N, escolhemos o maior tamanho possível para $e_2$ e $e_3$, que é 2.
  Então, $e_2 = 2$ e $e_3 = 2$.

Somando as cadeiras vazias: $e_1 + e_2 + e_3 = 3 + 2 + 2 = 7$.
O número total de cadeiras N é o número de Pessoas mais o número de cadeiras Vazias: $N = 3 + 7 = 10$.

A configuração seria P VVV P VV P VV (circularmente).
Por exemplo: Abel VVV Daniel VV Rafael VV.

• Entre Abel e Daniel (VVV): A V1 V2 V3 D. Se Pedro sentar em V2, seus vizinhos são V1 e V3 (ambos vazios). Este é o único lugar seguro.
• Entre Daniel e Rafael (VV): D V1 V2 R. Se Pedro sentar em V1, seus vizinhos são D e V2. Se Pedro sentar em V2, seus vizinhos são V1 e R. Nenhum é seguro.
• Entre Rafael e Abel (VV): R V1 V2 A. Nenhum é seguro.

Essa configuração satisfaz todas as condições e maximiza o número de cadeiras.

(A) Incorreta: 6. Uma configuração possível para 6 cadeiras é P P P VVV (os três amigos juntos, e as três vazias juntas). Essa configuração tem 1 lugar seguro, mas não é o número máximo.
(B) Incorreta: 7. Com 3 pessoas e 4 cadeiras vazias, não é possível ter apenas um lugar seguro. Por exemplo, P VVVV P P (um bloco de 4 vazias) teria 2 lugares seguros. P VV P VV P (dois blocos de 2 vazias) não teria nenhum lugar seguro.
(C) Incorreta: 8. Uma configuração possível para 8 cadeiras é P VVV P P VV (dois amigos juntos, um separado). Por exemplo, Abel VVV Daniel Rafael VV. Essa configuração tem 1 lugar seguro, mas não é o número máximo. É um distrator tentador porque satisfaz a condição, mas não o requisito de "máximo".
(D) Incorreta: 9. Com 3 pessoas e 6 cadeiras vazias. Se tivermos P VVV P VVV P (dois blocos de 3 vazias), teríamos 2 lugares seguros. Se tivermos P VVVV P VV P (um bloco de 4 e um de 2), teríamos 2 lugares seguros. Não é possível ter apenas 1 lugar seguro com 6 cadeiras vazias.
(E) Correta: 10. Conforme explicado acima, com 3 pessoas e 7 cadeiras vazias, a configuração P VVV P VV P VV (circularmente) permite exatamente um lugar seguro para Pedro, maximizando o número total de cadeiras.