Questão de Física · FGV SEE-MG 2023 (nº 47)

Em um lançamento oblíquo sem resistência do ar, a energia mecânica total (soma da energia cinética e potencial) se mantém constante. No ponto mais alto da trajetória, a velocidade vertical é zero, mas a velocidade horizontal é constante e diferente de zero. O raio de curvatura nesse ponto descreve o quão "curva" é a trajetória, e é determinado pela velocidade e pela aceleração da gravidade que atua perpendicularmente à velocidade.

• Conceito-chave: No ponto mais alto da trajetória de um projétil, a velocidade é puramente horizontal e a aceleração é puramente vertical (gravidade). A energia mecânica se conserva, e a condição dada ($E_k = E_p$) permite encontrar a velocidade nesse ponto. O raio de curvatura ($\rho$) é dado por $\rho = \frac{v^2}{a_n}$, onde $a_n$ é a aceleração normal (centrípeta), que nesse ponto é a própria gravidade ($g$).

• Cálculo:

  1. No ponto mais alto ($H$), a energia potencial é $E_p = mgH$.
  2. A energia cinética nesse ponto é $E_k = \frac{1}{2}mv_H^2$, onde $v_H$ é a velocidade horizontal (e única) nesse ponto.
  3. A condição dada é $E_k = E_p$, então $\frac{1}{2}mv_H^2 = mgH$.
  4. Simplificando $m$ e $g$, obtemos $v_H^2 = 2gH$.
  5. No ponto mais alto, a aceleração normal (centrípeta) é a própria aceleração da gravidade, $a_n = g$.
  6. O raio de curvatura é $\rho = \frac{v_H^2}{a_n} = \frac{v_H^2}{g}$.
  7. Substituindo $v_H^2 = 2gH$, temos $\rho = \frac{2gH}{g} = 2H$.

• (A) Correta: O raio de curvatura no ponto mais alto é $2H$. Este resultado é obtido aplicando a conservação da energia mecânica e a definição de raio de curvatura, utilizando a condição de que a energia cinética e potencial são iguais nesse ponto.

• (B) Incorreta: Esta alternativa não se alinha com os princípios da física envolvidos. Não há uma derivação direta que leve a $3H/2$ sob as condições dadas.

• (C) Incorreta: Esta alternativa não se alinha com os princípios da física envolvidos. Não há uma derivação direta que leve a $4H/3$ sob as condições dadas.

• (D) Incorreta: Se o raio de curvatura fosse $H$, isso implicaria que $v_H^2 = gH$. Pela condição $E_k = E_p$, teríamos $\frac{1}{2}mv_H^2 = mgH$, o que levaria a $v_H^2 = 2gH$. Portanto, $v_H^2 = gH$ contradiz a condição de energia, tornando esta alternativa incorreta. Armadilha da banca: O aluno pode tentar simplificar a relação entre $v^2$ e $gH$ de forma incorreta ou assumir uma relação direta sem considerar a condição de energia.