Questão de Física · FGV SEE-MG 2023 (nº 42)

O conceito-chave aqui é a Conservação de Energia Mecânica (pois não há atrito) para encontrar a velocidade da esfera, e a Dinâmica Circular para analisar as forças que atuam na esfera enquanto ela se move em um arco. A tensão no fio é a força que, junto com uma componente do peso, fornece a força centrípeta necessária para o movimento circular.

Para resolver:

1. Conservação de Energia: A esfera é abandonada com o fio na horizontal. Vamos definir o nível de energia potencial zero na posição inicial.

   • Energia inicial (repouso, altura zero): $E_i = 0$.
   • Na posição onde o fio faz ângulo $\theta$ com a horizontal, a esfera desceu uma altura $h = L \sin\theta$ (onde $L$ é o comprimento do fio). A energia potencial nesse ponto é $E_p = -mgh = -mgL\sin\theta$.
   • A energia cinética é $E_k = \frac{1}{2}mv^2$.
   • Pela conservação de energia: $E_i = E_p + E_k \Rightarrow 0 = -mgL\sin\theta + \frac{1}{2}mv^2$.
   • Isolando $v^2$: $v^2 = 2gL\sin\theta$.

2. Dinâmica Circular: Na posição com ângulo $\theta$ com a horizontal, as forças atuantes são a Tensão ($T$) para cima (ao longo do fio) e o Peso ($P=mg$) para baixo.

   • A componente do peso ao longo do fio, na direção oposta à tensão, é $mg\sin\theta$.
   • A força centrípeta ($F_c = \frac{mv^2}{L}$) é a força resultante na direção do centro da trajetória.
   • Aplicando a Segunda Lei de Newton na direção radial (ao longo do fio): $T - mg\sin\theta = \frac{mv^2}{L}$.
   • Substituindo $v^2$: $T - mg\sin\theta = \frac{m(2gL\sin\theta)}{L}$.
   • $T - mg\sin\theta = 2mg\sin\theta$.
   • $T = 3mg\sin\theta$.

3. Cálculo:

   • Peso $P = mg = 10$ N.
   • $\sin\theta = \frac{3}{5}$.
   • $T = 3 \times (10 \text{ N}) \times \frac{3}{5} = 30 \times \frac{3}{5} = 6 \times 3 = 18$ N.

(A) Incorreta: Esta alternativa (12 N) seria obtida se o aluno considerasse apenas a força centrípeta como sendo a tensão, ignorando a componente do peso que atua na mesma direção da tensão (ou oposta a ela, dependendo do referencial). Ou seja, se calculasse $T = \frac{mv^2}{L} = 2mg\sin\theta = 2 \times 10 \times \frac{3}{5} = 12$ N. Armadilha da banca: Esquecer a componente do peso na equação da força centrípeta.
(B) Correta: A tensão é de 18 N, calculada corretamente pela conservação de energia e pela análise das forças na dinâmica circular, resultando em $T = 3mg\sin\theta$.
(C) Incorreta: Esta alternativa (24 N) poderia ser obtida por um erro de cálculo ou por uma troca de funções trigonométricas, por exemplo, se o aluno usasse $T = 3mg\cos\theta$ (onde $\cos\theta = \frac{4}{5}$), resultando em $3 \times 10 \times \frac{4}{5} = 24$ N.
(D) Incorreta: Esta alternativa (30 N) representa a tensão máxima que o fio experimentaria, que ocorre no ponto mais baixo da trajetória (quando o fio está na vertical, ou seja, $\theta = 90^\circ$ com a horizontal, e $\sin\theta = 1$). Nesse caso, $T = 3mg\sin(90^\circ) = 3mg = 3 \times 10 = 30$ N. O aluno pode ter confundido a posição dada com o ponto mais baixo ou a tensão máxima.