Questão de Física · FGV SEE-MG 2023 (nº 40)

Para que uma lâmpada funcione corretamente, a fonte de energia (geradores) deve fornecer a tensão e a corrente especificadas para ela, considerando a resistência interna dos geradores e como eles são conectados (em série ou em paralelo).

Primeiro, calculamos as características da lâmpada para seu funcionamento normal:
Potência ($P$) = 20 W
Tensão ($V$) = 5 V
Corrente ($I$) = $P/V = 20 \text{ W} / 5 \text{ V} = 4 \text{ A}$
Resistência da lâmpada ($R_L$) = $V/I = 5 \text{ V} / 4 \text{ A} = 1.25 \text{ Ω}$

Cada gerador tem força eletromotriz ($\varepsilon$) = 6 V e resistência interna ($r$) = 1 Ω.
O objetivo é que a lâmpada receba 5 V e 4 A.

Vamos analisar as associações possíveis:

1. Associação em Série de $N$ geradores:
   A força eletromotriz total ($\varepsilon_{total}$) seria $N \times \varepsilon = N \times 6 \text{ V}$.
   A resistência interna total ($r_{total}$) seria $N \times r = N \times 1 \text{ Ω}$.
   A corrente no circuito seria $I = \frac{\varepsilon_{total}}{r_{total} + R_L}$.
   Queremos $I = 4 \text{ A}$, então $4 = \frac{6N}{N + 1.25}$.
   $4(N + 1.25) = 6N$
   $4N + 5 = 6N$
   $2N = 5 \Rightarrow N = 2.5$. Como o número de geradores deve ser inteiro, a associação em série pura não atende perfeitamente.

2. Associação em Paralelo de $N$ geradores:
   Para geradores idênticos em paralelo, a força eletromotriz total ($\varepsilon_{total}$) é igual à de um único gerador, ou seja, $\varepsilon_{total} = \varepsilon = 6 \text{ V}$.
   A resistência interna total ($r_{total}$) é a resistência de um gerador dividida pelo número de geradores, ou seja, $r_{total} = r/N = 1/N \text{ Ω}$.
   A corrente no circuito seria $I = \frac{\varepsilon_{total}}{r_{total} + R_L}$.
   Queremos $I = 4 \text{ A}$, então $4 = \frac{6}{1/N + 1.25}$.
   $4(1/N + 1.25) = 6 \4/N + 5 = 6$$4/N = 1 \Rightarrow N = 4$.

Verificando para $N=4$ geradores em paralelo:
$\varepsilon_{total} = 6 \text{ V}$
$r_{total} = 1/4 = 0.25 \text{ Ω}$
Resistência total do circuito = $r_{total} + R_L = 0.25 \text{ Ω} + 1.25 \text{ Ω} = 1.5 \text{ Ω}$.
Corrente no circuito ($I$) = $\varepsilon_{total} / (r_{total} + R_L) = 6 \text{ V} / 1.5 \text{ Ω} = 4 \text{ A}$.
Tensão na lâmpada ($V_L$) = $I \times R_L = 4 \text{ A} \times 1.25 \text{ Ω} = 5 \text{ V}$.
Esses valores (4 A e 5 V) correspondem exatamente às especificações da lâmpada.

(A) Incorreta: Com 1 gerador, a corrente seria $I = 6 \text{ V} / (1 \text{ Ω} + 1.25 \text{ Ω}) = 6 / 2.25 \approx 2.67 \text{ A}$, e a tensão na lâmpada seria $2.67 \text{ A} \times 1.25 \text{ Ω} \approx 3.33 \text{ V}$, que é insuficiente.
(B) Incorreta: Com 2 geradores (seja em série ou paralelo), a corrente e a tensão na lâmpada ainda seriam menores que o necessário para o brilho normal. Por exemplo, em série, $I \approx 3.69 \text{ A}$ e $V_L \approx 4.61 \text{ V}$. Em paralelo, $I \approx 3.43 \text{ A}$ e $V_L \approx 4.29 \text{ V}$.
(C) Incorreta: Com 3 geradores em série, a corrente seria $I = 18 \text{ V} / (3 \text{ Ω} + 1.25 \text{ Ω}) = 18 / 4.25 \approx 4.24 \text{ A}$, e a tensão na lâmpada seria $4.24 \text{ A} \times 1.25 \text{ Ω} \approx 5.3 \text{ V}$. Esta tensão é maior que os 5 V especificados, o que faria a lâmpada queimar ou operar acima de sua capacidade. Armadilha da banca: A associação em série com 3 geradores resulta em uma corrente próxima de 4 A, mas a tensão na lâmpada seria excessiva, o que é um erro comum de desconsiderar a tensão exata ou o risco de queima.
(D) Correta: Quatro geradores associados em paralelo fornecem a corrente de 4 A e a tensão de 5 V necessárias para que a lâmpada funcione com seu brilho normal, conforme os cálculos detalhados acima.