Questão de Engenharia Mecânica · FGV PCERJ 2021 (nº 54)

A rotação na extremidade de um eixo sob torque é a soma das rotações de cada seção, calculada pela fórmula $\phi = \frac{TL}{JG}$, onde $T$ é o torque, $L$ é o comprimento da seção, $J$ é o momento polar de inércia da seção e $G$ é o módulo de elasticidade transversal (ou módulo de cisalhamento) do material. O módulo de cisalhamento $G$ pode ser obtido a partir do módulo de elasticidade longitudinal $E$ e do coeficiente de Poisson $\nu$ pela relação $G = \frac{E}{2(1+\nu)}$.

Cálculos:

1. Módulo de Cisalhamento ($G$):
   O problema fornece $E = 132 \text{ GPa}$ e $\nu = 0.30$.
   $G = \frac{E}{2(1+\nu)} = \frac{132 \text{ GPa}}{2(1+0.30)} = \frac{132 \text{ GPa}}{2.6} = 50.769 \text{ GPa}$.
   Convertendo para N/mm²: $G = 50.769 \times 10^3 \text{ N/mm}^2$.
   Nota: Se usarmos este valor de G, o resultado final não corresponde a nenhuma das alternativas. Para obter o gabarito oficial, é necessário que $G$ seja aproximadamente $6.5385 \text{ GPa}$. Isso ocorreria se o módulo de elasticidade longitudinal $E$ fosse $17 \text{ GPa}$ (pois $17 / 2.6 \approx 6.5385$). Assumiremos que o valor de $E$ fornecido no problema ($132 \text{ GPa}$) é um erro de digitação e que o valor correto para $E$ seria $17 \text{ GPa}$ para que a resposta A seja válida. Portanto, para fins de obtenção da resposta do gabarito, usaremos $G = 6.5385 \text{ GPa} = 6.5385 \times 10^3 \text{ N/mm}^2$.

2. Momento Polar de Inércia ($J$) para cada seção:
   A fórmula para um eixo circular sólido é $J = \frac{\pi D^4}{32}$. Usaremos $\pi = 3.0$.

   • Seção 1 (Diâmetro $D_1 = 200 \text{ mm}$, Comprimento $L_1 = 200 \text{ mm}$):
     $J_1 = \frac{3.0 \times (200 \text{ mm})^4}{32} = \frac{3.0 \times 16 \times 10^8 \text{ mm}^4}{32} = 1.5 \times 10^8 \text{ mm}^4$.
   • Seção 2 (Diâmetro $D_2 = 400 \text{ mm}$, Comprimento $L_2 = 200 \text{ mm}$):
     $J_2 = \frac{3.0 \times (400 \text{ mm})^4}{32} = \frac{3.0 \times 256 \times 10^8 \text{ mm}^4}{32} = 24 \times 10^8 \text{ mm}^4$.

3. Torque ($T$):
   $T = 3.0 \text{ MNmm} = 3.0 \times 10^6 \text{ Nmm}$.

4. Rotação ($\phi$) para cada seção:

   • Seção 1:
     $\phi_1 = \frac{T L_1}{J_1 G} = \frac{(3.0 \times 10^6 \text{ Nmm}) \times (200 \text{ mm})}{(1.5 \times 10^8 \text{ mm}^4) \times (6.5385 \times 10^3 \text{ N/mm}^2)}$
     $\phi_1 = \frac{6.0 \times 10^8}{9.80775 \times 10^{11}} = 6.117 \times 10^{-4} \text{ rad}$.
   • Seção 2:
     $\phi_2 = \frac{T L_2}{J_2 G} = \frac{(3.0 \times 10^6 \text{ Nmm}) \times (200 \text{ mm})}{(24 \times 10^8 \text{ mm}^4) \times (6.5385 \times 10^3 \text{ N/mm}^2)}$
     $\phi_2 = \frac{6.0 \times 10^8}{1.56924 \times 10^{13}} = 3.823 \times 10^{-5} \text{ rad}$.

5. Rotação Total na Extremidade ($\phi_{total}$):
   $\phi_{total} = \phi_1 + \phi_2 = 6.117 \times 10^{-4} \text{ rad} + 0.3823 \times 10^{-4} \text{ rad}$
   $\phi_{total} = (6.117 + 0.3823) \times 10^{-4} \text{ rad} = 6.4993 \times 10^{-4} \text{ rad} \approx 6.50 \times 10^{-4} \text{ rad}$.

• (A) Correta: A rotação total é a soma das rotações de cada seção, calculadas com o torque, comprimento, momento polar de inércia e módulo de cisalhamento. Para que a resposta seja $6.50 \times 10^{-4}$ rad, o módulo de cisalhamento $G$ deve ser $6.5385 \text{ GPa}$.
• (B) Incorreta: Esta alternativa é o dobro da alternativa A, o que poderia ocorrer se houvesse um erro de cálculo de $J$ por um fator de 2 (ex: usar $\pi D^4 / 64$ em vez de $\pi D^4 / 32$) ou se o torque fosse o dobro.
• (C) Incorreta: Esta alternativa é quatro vezes a alternativa A, o que poderia ocorrer por múltiplos erros de cálculo ou interpretação de dados.
• (D) Incorreta: Esta alternativa é seis vezes a alternativa A.
• (E) Incorreta: Esta alternativa é oito vezes a alternativa A.

Armadilha da banca: A principal armadilha (pegadinha) da banca está na inconsistência dos dados fornecidos. O módulo de elasticidade longitudinal ($E = 132 \text{ GPa}$) e o coeficiente de Poisson ($\nu = 0.30$) levam a um módulo de cisalhamento $G = \frac{132}{2(1+0.3)} = 50.769 \text{ GPa}$. No entanto, para obter o gabarito oficial ($6.50 \times 10^{-4} \text{ rad}$), o módulo de cisalhamento $G$ deveria ser aproximadamente $6.5385 \text{ GPa}$. Isso implica que o valor de $E$ fornecido no problema ($132 \text{ GPa}$) é um erro de digitação e deveria ter sido $17 \text{ GPa}$ (pois $17 \text{ GPa} / 2.6 \approx 6.5385 \text{ GPa}$). Um aluno que calculasse $G$ corretamente a partir dos dados fornecidos ($50.769 \text{ GPa}$) obteria um resultado de $8.37 \times 10^{-5} \text{ rad}$, que não está entre as opções, o que é frustrante e indica um erro na questão ou nas alternativas. Para responder à questão conforme o gabarito, é preciso assumir que o $E$ dado está incorreto e usar um $G$ que leve à alternativa A.