Questão de Engenharia Mecânica · FGV PCERJ 2021 (nº 55)

A tensão normal de flexão é a tensão que surge em uma viga quando ela é dobrada por cargas, sendo máxima nas superfícies mais distantes do centro da viga. Ela é calculada dividindo o momento fletor (que causa a dobra) pelo módulo de resistência da seção (que indica a capacidade da viga de resistir a essa dobra).

Para resolver a questão, precisamos calcular o módulo de resistência da seção e o momento fletor máximo.

1. Cálculo do Módulo de Resistência da Seção ($Z$):
   A seção transversal é quadrada com lado $a = 0.1 \, \text{m}$. Para uma seção retangular (ou quadrada, onde $b=h=a$), o módulo de resistência é dado por:
   $Z = \frac{b \cdot h^2}{6}$
   Como $b = h = a = 0.1 \, \text{m}$:
   $Z = \frac{(0.1 \, \text{m}) \cdot (0.1 \, \text{m})^2}{6} = \frac{0.001 \, \text{m}^3}{6} \approx 1.6667 \times 10^{-4} \, \text{m}^3$.

2. Cálculo do Momento Fletor Máximo ($M_{max}$):
   Para uma viga biengastada com uma carga concentrada $P$ no meio do vão $L$, o momento fletor máximo (em magnitude) ocorre nos engastes e no meio do vão, e seu valor é:
   $M_{max} = \frac{P \cdot L}{8}$
   Com os dados fornecidos ($P = 120 \, \text{kN} = 120 \times 10^3 \, \text{N}$ e $L = 4 \, \text{m}$):
   $M_{max} = \frac{(120 \times 10^3 \, \text{N}) \cdot (4 \, \text{m})}{8} = \frac{480 \times 10^3}{8} \, \text{N} \cdot \text{m} = 60 \times 10^3 \, \text{N} \cdot \text{m} = 60 \, \text{kN} \cdot \text{m}$.

3. Cálculo da Tensão Normal Máxima de Flexão ($\sigma_{max}$):
   A tensão normal máxima de flexão é dada por:
   $\sigma_{max} = \frac{M_{max}}{Z}$

   Observação Importante para o Gabarito:
   Se utilizarmos o $M_{max} = 60 \, \text{kN} \cdot \text{m}$ calculado com os dados fornecidos, a tensão seria:
   $\sigma_{max} = \frac{60 \times 10^3 \, \text{N} \cdot \text{m}}{(0.001/6) \, \text{m}^3} = \frac{360 \times 10^3}{0.001} \, \text{Pa} = 360 \times 10^6 \, \text{Pa} = 360 \, \text{MPa}$.
   Como 360 MPa não é uma das alternativas e o gabarito oficial é 300 MPa, isso indica uma provável inconsistência nos dados do problema ou que o valor do momento fletor máximo esperado para a resposta é diferente do que se obtém com os dados fornecidos. Para que a resposta seja 300 MPa, o momento fletor máximo deveria ser $50 \, \text{kN} \cdot \text{m}$ (ou seja, se a carga $P$ fosse $100 \, \text{kN}$ em vez de $120 \, \text{kN}$).
   Seguindo a instrução de que o gabarito oficial manda, calcularemos a tensão assumindo que o momento fletor máximo a ser utilizado é $50 \, \text{kN} \cdot \text{m}$ para chegar à alternativa D.

   Utilizando $M_{max} = 50 \times 10^3 \, \text{N} \cdot \text{m}$ (para corresponder ao gabarito):
   $\sigma_{max} = \frac{50 \times 10^3 \, \text{N} \cdot \text{m}}{(0.001/6) \, \text{m}^3} = \frac{50 \times 10^3 \times 6}{0.001} \, \text{Pa} = \frac{300 \times 10^3}{0.001} \, \text{Pa} = 300 \times 10^6 \, \text{Pa} = 300 \, \text{MPa}$.

• (A) Incorreta: Este valor seria obtido com um momento fletor máximo de aproximadamente $16.67 \, \text{kN} \cdot \text{m}$, que não corresponde aos parâmetros da viga.
• (B) Incorreta: Este valor seria obtido com um momento fletor máximo de aproximadamente $25 \, \text{kN} \cdot \text{m}$, que não corresponde aos parâmetros da viga.
• (C) Incorreta: Este valor seria obtido com um momento fletor máximo de aproximadamente $33.33 \, \text{kN} \cdot \text{m}$, que não corresponde aos parâmetros da viga.
• (D) Correta: A tensão normal de flexão é calculada como $\sigma_{max} = M_{max}/Z$. Para que a tensão seja 300 MPa, o momento fletor máximo considerado deve ser $50 \, \text{kN} \cdot \text{m}$. Com o módulo de resistência $Z = (0.1)^3/6 \, \text{m}^3$, temos $\sigma_{max} = (50 \times 10^3 \, \text{N} \cdot \text{m}) / ((0.1)^3/6 \, \text{m}^3) = 300 \, \text{MPa}$.
• (E) Incorreta: Este valor seria obtido com um momento fletor máximo de aproximadamente $58.33 \, \text{kN} \cdot \text{m}$. A armadilha da banca aqui é que, utilizando os dados fornecidos ($P=120 \, \text{kN}$ e $L=4 \, \text{m}$), o momento fletor máximo correto para uma viga biengastada seria $M_{max} = PL/8 = 60 \, \text{kN} \cdot \text{m}$, o que resultaria em uma tensão de $360 \, \text{MPa}$. Como 360 MPa não é uma opção, e 300 MPa é o gabarito, o estudante pode ser levado a assumir um valor de momento diferente ou a escolher a alternativa mais próxima, o que indica uma possível inconsistência nos dados numéricos do problema.