Questão de Engenharia Mecânica · FGV PCERJ 2021 (nº 41)

Para um objeto flutuar em equilíbrio estável, o empuxo (a força para cima exercida pelo fluido) deve ser igual ao peso do objeto, e o metacentro (um ponto que indica a estabilidade de um corpo flutuante) deve estar acima do centro de gravidade do objeto.

(A) Incorreta: Se a altura fosse 6 cm, o bloco flutuaria de forma estável, mas não seria a altura máxima permitida pela condição de equilíbrio estável.
(B) Incorreta: Se a altura fosse 12 cm, o bloco também flutuaria de forma estável, mas ainda não seria a altura máxima.
(C) Correta: Para que o bloco flutue em equilíbrio estável, a altura do seu centro de gravidade (G) deve ser tal que o metacentro (M) esteja acima de G.

1. Pelo Princípio de Arquimedes, a fração submersa do bloco é igual à razão entre a densidade do bloco e a densidade da água: $h_{sub} = h \cdot (\rho_{bloco} / \rho_{água}) = h \cdot (0,4 / 1) = 0,4h$.
2. O centro de gravidade (G) do bloco homogêneo está a $h/2$ da base.
3. O centro de empuxo (B) está a $h_{sub}/2 = 0,4h/2 = 0,2h$ da base.
4. A distância $BG = G - B = h/2 - 0,2h = 0,3h$.
5. A distância do centro de empuxo ao metacentro é $BM = I/V_{sub}$, onde $I$ é o momento de inércia da área da linha d'água e $V_{sub}$ é o volume submerso.
   • A área da linha d'água é $A = 20 \times 20 = 400 \text{ cm}^2$.
   • O momento de inércia para uma seção retangular é $I = (base \times altura^3)/12$. Como a base é quadrada, $I = (20 \times 20^3)/12 = 160000/12 = 40000/3 \text{ cm}^4$.
   • O volume submerso é $V_{sub} = A \cdot h_{sub} = 400 \cdot 0,4h = 160h \text{ cm}^3$.
   • Então, $BM = (40000/3) / (160h) = 250/(3h)$.
6. Para equilíbrio estável, o metacentro deve estar acima do centro de gravidade, ou seja, $BM > BG$.
   • $250/(3h) > 0,3h$
   • $250/(3h) > (3/10)h$
   • $2500 > 9h^2$
   • $h^2 < 2500/9$
   • $h < \sqrt{2500/9}$
   • $h < 50/3$
   • $h < 16,66... \text{ cm}$.
     Como a altura deve ser um valor inteiro, o valor máximo é 16 cm.
     (D) Incorreta: Uma altura de 24 cm faria com que o bloco ficasse instável, pois $24^2 = 576$, que é maior que $2500/9 \approx 277,7$. Neste caso, o metacentro estaria abaixo do centro de gravidade, tornando o bloco instável.
     (E) Incorreta: Uma altura de 32 cm também resultaria em um bloco instável, pois $32^2 = 1024$, que é muito maior que $2500/9 \approx 277,7$.